北京工业大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
七．已知 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，且 $\displaystyle \sigma^{m}=\mathrm{id}_{V}$ ，其中 $\displaystyle m>1$ 为正整数， $\displaystyle \mathrm{id}_{V}$ 为 $V$ 上的恒等变换．
（1）证明 $\displaystyle V_{\sigma}=\{u \in V \mid \sigma(u)=u\}$ 为 $V$ 的子空间，并称其为 $V$ 的不动子空间；
（2）对任意的 $\displaystyle u \in V$ ，其在 $\displaystyle V_{\sigma}$ 上的正交投影为 $\displaystyle \bar{u}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(u)$ ；
（3）证明 $\displaystyle V_{\sigma}$ 的维数等于 $\displaystyle \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}$ 的迹．
## （第三、四、六题回忆数据可能不准，11月份之前会根据官方修订真题）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明 $V_\sigma$ 是子空间
首先，零向量 $0$ 满足 $\sigma(0)=0$，所以 $0 \in V_\sigma$。其次，对任意 $u,v \in V_\sigma$，有 $\sigma(u+v)=\sigma(u)+\sigma(v)=u+v$，所以 $u+v \in V_\sigma$。最后，对任意 $k \in \mathbb{R}$，$\sigma(ku)=k\sigma(u)=ku$，所以 $ku \in V_\sigma$。因此 $V_\sigma$ 是 $V$ 的子空间。
提示：注意验证三个条件：零向量、加法封闭、数乘封闭。
步骤 2/6
目标：验证 $\bar{u} \in V_\sigma$
计算 $\sigma(\bar{u}) = \sigma\left(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \sigma^i(u)\right) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \sigma^{i+1}(u) = \frac{1}{m}\sum_{i=2}^{m+1} \sigma^i(u)$。由于 $\sigma^{m+1}(u)=\sigma(\sigma^m(u))=\sigma(u)$，所以 $\sigma(\bar{u}) = \frac{1}{m}\left(\sum_{i=1}^m \sigma^i(u) + \sigma^{m+1}(u) - \sigma(u)\right) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \sigma^i(u) = \bar{u}$。因此 $\bar{u} \in V_\sigma$。
公式：$\sigma^{m+1}(u)=\sigma(u)$
提示：注意求和指标变换，并利用 $\sigma^m = \mathrm{id}$ 化简。
步骤 3/6
目标：证明 $u-\bar{u} \perp V_\sigma$
对任意 $v \in V_\sigma$，计算内积 $(u-\bar{u}, v) = (u,v) - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m (\sigma^i(u), v)$。由于 $\sigma$ 是正交变换，$\sigma^i$ 也是正交变换，且 $\sigma^i(v)=v$，所以 $(\sigma^i(u), v) = (u, (\sigma^i)^{-1}(v)) = (u, \sigma^{-i}(v)) = (u, v)$。代入得 $(u-\bar{u}, v) = (u,v) - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m (u,v) = (u,v) - (u,v) = 0$。因此 $u-\bar{u} \perp V_\sigma$。
公式：$(\sigma^i(u), v) = (u, v)$
提示：利用正交变换保持内积，且 $v$ 是 $\sigma$ 的不动点。
步骤 4/6
目标：得出 $\bar{u}$ 是正交投影
由前两步，$\bar{u} \in V_\sigma$ 且 $u-\bar{u} \perp V_\sigma$，根据正交投影的定义，$\bar{u}$ 是 $u$ 在 $V_\sigma$ 上的正交投影。
提示：正交投影的唯一性保证此投影公式正确。
步骤 5/6
目标：将问题转化为矩阵形式
设 $\sigma$ 在 $V$ 的一组标准正交基下的矩阵为 $A$，则 $A$ 是正交矩阵且 $A^m = I$。$V_\sigma$ 对应 $A$ 的特征值 $1$ 的特征子空间，其维数等于投影矩阵的迹。由(2)，投影算子为 $\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \sigma^i$，其矩阵为 $\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m A^i$。
公式：$P = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m A^i$
提示：注意投影矩阵的迹等于投影空间的维数。
步骤 6/6
目标：计算维数等于迹的平均
因此 $\dim V_\sigma = \operatorname{tr}\left(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m A^i\right) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \operatorname{tr}(A^i) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \operatorname{tr}(\sigma^i)$。
公式：$\dim V_\sigma = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \operatorname{tr}(\sigma^i)$
提示：迹的线性性质：$\operatorname{tr}(\sum c_i A_i) = \sum c_i \operatorname{tr}(A_i)$。
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