北京工业大学 2022年高等代数第0题

由于 $A$ 正定，$B$ 实反对称，即 $B^T = -B$。对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $x^T (A - B^2) x = x^T A x - x^T B^2 x$。因为 $A$ 正定，$x^T A x > 0$。又 $B$ 实反对称，则 $B^2$ 是实对称矩阵（因为 $(B^2)^T = (B^T)^2 = (-B)^2 = B^2$），且 $B^2$ 半负定（因为 $B$ 的特征值为纯虚数或零，平方后为非正实数）。实际上，$x^T B^2 x = (Bx)^T (Bx) = \|Bx\|^2 \geq 0$，但注意 $B^2$ 是半负定？检查：由于 $B$ 反对称，$x^T B x = 0$，但 $x^T B^2 x = (Bx)^T (Bx) = \|Bx\|^2 \geq 0$，所以 $B^2$ 是半正定？实际上，若 $B$ 反对称，则 $B^2$ 是对称且半负定？反例：$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$，则 $B^2 = -I$，是负定。一般地，$B$ 的特征值为 $\lambda_i$（纯虚数），则 $B^2$ 的特征值为 $\lambda_i^2 \leq 0$，所以 $B^2$ 半负定。因此 $-B^2$ 半正定。于是 $x^T (A - B^2) x = x^T A x + x^T (-B^2) x > 0$，因为 $x^T A x > 0$ 且 $x^T (-B^2) x \geq 0$，且两者不同时为零（$x \neq 0$ 时 $x^T A x > 0$）。故 $A - B^2$ 正定。

首先，$E + B$ 可逆，因为 $B$ 反对称，其特征值为纯虚数或零，所以 $E + B$ 的特征值为 $1 + \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 为纯虚数，故 $1 + \lambda_i \neq 0$，可逆。要证 $T^T T = E$。由于 $B^T = -B$，$T^T = [(E - B)(E + B)^{-1}]^T = (E + B)^{-T} (E - B)^T = (E - B)^{-1} (E + B)$，因为 $(E + B)^T = E + B^T = E - B$，$(E - B)^T = E + B$。于是 $T^T T = (E - B)^{-1} (E + B) (E - B) (E + B)^{-1}$。注意 $(E + B)$ 与 $(E - B)$ 可交换，因为 $(E + B)(E - B) = E - B^2 = (E - B)(E + B)$。所以 $T^T T = (E - B)^{-1} (E - B) (E + B) (E + B)^{-1} = E E = E$。故 $T$ 正交。

假设 $-1$ 是 $T$ 的特征值，则存在非零向量 $x$ 使得 $T x = -x$，即 $(E - B)(E + B)^{-1} x = -x$。左乘 $(E + B)$ 得 $(E - B) x = - (E + B) x$，即 $E x - B x = -E x - B x$，化简得 $2E x = 0$，即 $x = 0$，矛盾。故 $-1$ 不是 $T$ 的特征值。