北京工业大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
二．设 $\displaystyle A, B$ 为复数域上的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A=\alpha^{T} \beta, A=A B-B A$ ，其中 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $n$ 维非零列向量．
（1）证明 $\displaystyle A^{2}=O$ ；
（2）证明 $A$ 与 $\displaystyle E_{12}$ 相似，其中 $\displaystyle E_{12}$ 表示第一行第二列元素为 1 ，其余元素为 0 的 $n$ 阶方阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算A^2并引入标量c
由 $A = \alpha^T \beta$，计算 $A^2 = (\alpha^T \beta)(\alpha^T \beta) = \alpha^T (\beta \alpha^T) \beta$。由于 $\beta \alpha^T$ 是一个 $1 \times 1$ 矩阵，即一个标量，记 $c = \beta \alpha^T$，则 $A^2 = c \alpha^T \beta = c A$。
公式：A^2 = cA
提示：注意 $\beta \alpha^T$ 是标量，不要与 $\alpha^T \beta$ 混淆。
步骤 2/6
目标：利用条件A=AB-BA得到关系式
已知 $A = AB - BA$。左乘 $A$ 得 $A^2 = A(AB - BA) = A^2 B - ABA$；右乘 $A$ 得 $A^2 = (AB - BA)A = ABA - BA^2$。两式相加得 $2A^2 = A^2 B - BA^2$。
公式：2A^2 = A^2 B - BA^2
提示：注意矩阵乘法不交换，左右乘结果不同。
步骤 3/6
目标：代入A^2=cA化简
将 $A^2 = cA$ 代入 $2A^2 = A^2 B - BA^2$ 得 $2cA = cAB - cBA = c(AB - BA) = cA$。因此 $2cA = cA$，即 $cA = 0$。
公式：cA = 0
提示：这里用到 $A=AB-BA$ 的条件。
步骤 4/6
目标：推出c=0并证明A^2=0
由于 $\alpha, \beta$ 非零，$A = \alpha^T \beta \neq 0$。由 $cA = 0$ 且 $A \neq 0$ 得 $c = 0$。从而 $A^2 = cA = 0$。
公式：A^2 = 0
提示：非零矩阵乘以非零标量才可能为零，这里c必须为零。
步骤 5/6
目标：分析A的秩和Jordan标准形
由 $A = \alpha^T \beta$ 知 $\operatorname{rank}(A) = 1$（因为 $\alpha, \beta$ 非零）。又 $A^2 = 0$ 且 $A \neq 0$，故 $A$ 的 Jordan 标准形中只有一个2阶 Jordan 块（对应特征值0），其余为1阶零块。因此 $A$ 相似于 $\operatorname{diag}(J_2(0), 0_{n-2})$，其中 $J_2(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & \\ 0 & 0 & \\ & & 0_{n-2} \end{pmatrix}
提示：秩1且平方为零的矩阵的Jordan标准形唯一确定。
步骤 6/6
目标：说明A与E_{12}相似
$E_{12}$ 是 $n$ 阶矩阵，其左上角 $2 \times 2$ 块为 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其余元素为0。因此 $E_{12}$ 的 Jordan 标准形也是 $\operatorname{diag}(J_2(0), 0_{n-2})$，故 $A$ 与 $E_{12}$ 相似。
提示：相似于同一个Jordan标准形的矩阵彼此相似。
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