北京工业大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
五．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的不可逆且非零的线性变换，$A$ 为 $\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵．证明：
（1）存在 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma^{m} \oplus \operatorname{Ker} \sigma^{m}$ ；
（2）$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造子空间序列并找到稳定指数m
考虑子空间序列：
$V \supseteq \operatorname{Im} \sigma \supseteq \operatorname{Im} \sigma^2 \supseteq \cdots$ 和 $\{0\} \subseteq \operatorname{Ker} \sigma \subseteq \operatorname{Ker} \sigma^2 \subseteq \cdots$。由于$V$是有限维的，存在正整数$m$使得$\operatorname{Im} \sigma^m = \operatorname{Im} \sigma^{m+1} = \cdots$且$\operatorname{Ker} \sigma^m = \operatorname{Ker} \sigma^{m+1} = \cdots$。取最小的这样的$m$，则$m>1$因为$\sigma$非零且不可逆（否则$m=1$时$\sigma$可逆）。
提示：注意$m$的最小性，以及$\sigma$非零且不可逆保证$m>1$。
步骤 2/7
目标：证明$V = \operatorname{Im} \sigma^m + \operatorname{Ker} \sigma^m$
对任意$v \in V$，考虑$\sigma^m(v) \in \operatorname{Im} \sigma^m$。由于$\operatorname{Im} \sigma^m = \operatorname{Im} \sigma^{2m}$，存在$u \in V$使得$\sigma^m(v) = \sigma^{2m}(u)$，即$\sigma^m(v - \sigma^m(u)) = 0$，所以$v - \sigma^m(u) \in \operatorname{Ker} \sigma^m$。于是$v = \sigma^m(u) + (v - \sigma^m(u)) \in \operatorname{Im} \sigma^m + \operatorname{Ker} \sigma^m$，故$V = \operatorname{Im} \sigma^m + \operatorname{Ker} \sigma^m$。
公式：$\operatorname{Im} \sigma^m = \operatorname{Im} \sigma^{2m}$
提示：关键步骤：利用像空间的稳定性找到$u$使得$\sigma^m(v) = \sigma^{2m}(u)$。
步骤 3/7
目标：证明$\operatorname{Im} \sigma^m \cap \operatorname{Ker} \sigma^m = \{0\}$
若$w \in \operatorname{Im} \sigma^m \cap \operatorname{Ker} \sigma^m$，则存在$x \in V$使得$w = \sigma^m(x)$且$\sigma^m(w)=0$。于是$\sigma^{2m}(x)=0$，即$x \in \operatorname{Ker} \sigma^{2m} = \operatorname{Ker} \sigma^m$，故$w = \sigma^m(x)=0$。因此交为$\{0\}$。
公式：$\operatorname{Ker} \sigma^{2m} = \operatorname{Ker} \sigma^m$
提示：利用核空间的稳定性得到$x \in \operatorname{Ker} \sigma^m$。
步骤 4/7
目标：得到直和分解$V = \operatorname{Im} \sigma^m \oplus \operatorname{Ker} \sigma^m$
由前两步，$V = \operatorname{Im} \sigma^m + \operatorname{Ker} \sigma^m$且$\operatorname{Im} \sigma^m \cap \operatorname{Ker} \sigma^m = \{0\}$，所以$V = \operatorname{Im} \sigma^m \oplus \operatorname{Ker} \sigma^m$。
提示：直和分解成立的条件：和等于全空间且交为0。
步骤 5/7
目标：选取基并得到分块矩阵形式
取$\operatorname{Im} \sigma^m$的一组基$\alpha_1,\dots,\alpha_r$和$\operatorname{Ker} \sigma^m$的一组基$\alpha_{r+1},\dots,\alpha_n$，则$\alpha_1,\dots,\alpha_n$是$V$的一组基。由于$\operatorname{Im} \sigma^m$和$\operatorname{Ker} \sigma^m$都在$\sigma$下不变（验证：$\sigma(\operatorname{Im} \sigma^m) \subseteq \operatorname{Im} \sigma^{m+1} = \operatorname{Im} \sigma^m$；若$v \in \operatorname{Ker} \sigma^m$，则$\sigma^m(\sigma(v)) = \sigma(\sigma^m(v))=0$，所以$\sigma(v) \in \operatorname{Ker} \sigma^m$），因此$\sigma$在这组基下的矩阵为分块对角矩阵$\begin{pmatrix} B & O \\ O & C \end{pmatrix}$，其中$B$是$\sigma|_{\operatorname{Im} \sigma^m}$的矩阵，$C$是$\sigma|_{\operatorname{Ker} \sigma^m}$的矩阵。
提示：需要验证两个子空间在$\sigma$下不变，这是分块对角化的前提。
步骤 6/7
目标：证明$B$可逆且$C$幂零
由于$\operatorname{Im} \sigma^m = \operatorname{Im} \sigma^{m+1}$，$\sigma$在$\operatorname{Im} \sigma^m$上的限制是满射，又因为有限维，所以也是单射，故可逆，因此$B$可逆。在$\operatorname{Ker} \sigma^m$上，$\sigma^m$为零变换，所以$C^m = 0$，即$C$是幂零矩阵。
公式：$C^m = 0$
提示：可逆性证明：满射+有限维推出单射。幂零性直接由定义得到。
步骤 7/7
目标：结论
因此$A$相似于$\begin{pmatrix} B & O \\ O & C \end{pmatrix}$，其中$B$可逆，$C$幂零。
提示：注意相似变换由基的选取给出。
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