北京工业大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
六．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶正定矩阵．证明：
（1）$\displaystyle A^{2}+B$ 也为正定矩阵；
（2）$\displaystyle \left|2022 E_{n}-B^{2}\right| \geq 2022^{n}$ ，当且仅当 $\displaystyle B=O$ 时等号成立．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将B分解为P^T P
由于$B$是正定矩阵，存在可逆矩阵$P$使得$B = P^T P$。
公式：B = P^T P
提示：正定矩阵的分解不唯一，但可逆性保证后续操作可行。
步骤 2/6
目标：同时对角化A和B
考虑矩阵$P^{-T} A P^{-1}$，由于$A$实对称，该矩阵也是实对称，故存在正交矩阵$Q$使得$Q^T (P^{-T} A P^{-1}) Q = \Lambda$为对角矩阵。令$R = P^{-1} Q$，则$R$可逆，且$R^T A R = \Lambda$，$R^T B R = Q^T P^{-T} B P^{-1} Q = Q^T Q = I$。
公式：R^T A R = \Lambda, \quad R^T B R = I
提示：注意$P^{-T}$表示$(P^{-1})^T$，且$Q$是正交矩阵。
步骤 3/6
目标：证明A^2+B正定
计算$R^T (A^2 + B) R = \Lambda^2 + I$，其特征值为$\lambda_i^2 + 1 > 0$，因此$A^2+B$正定。
公式：R^T (A^2 + B) R = \Lambda^2 + I
提示：正定矩阵的合同变换保持正定性，只需特征值全正。
步骤 4/6
目标：正交对角化B
由于$B$正定，存在正交矩阵$U$使得$U^T B U = \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$，其中$\mu_i > 0$。
公式：U^T B U = \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)
提示：正定矩阵的特征值全为正数。
步骤 5/6
目标：计算行列式表达式
则$|2022 E_n - B^2| = |U^T (2022 E_n - B^2) U| = \prod_{i=1}^n (2022 - \mu_i^2)$。
公式：|2022 E_n - B^2| = \prod_{i=1}^n (2022 - \mu_i^2)
提示：正交变换不改变行列式值。
步骤 6/6
目标：利用不等式证明
由于$\mu_i > 0$，有$\mu_i^2 > 0$，故$2022 - \mu_i^2 < 2022$，因此$\prod_{i=1}^n (2022 - \mu_i^2) < 2022^n$。等号成立当且仅当每个$\mu_i^2 = 0$，即$\mu_i = 0$，但这与$B$正定矛盾。因此原题条件可能应为$B$半正定，此时$B=O$时等号成立。
公式：\prod_{i=1}^n (2022 - \mu_i^2) < 2022^n
提示：注意正定矩阵的特征值严格大于0，因此不等式严格成立，等号无法达到。
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