北京工业大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2、求 $\mathbf{A}$ 的所有特征值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解特征值的定义
特征值问题源于线性变换 $\mathbf{A}$ 作用于向量 $\mathbf{x}$ 时，存在非零向量 $\mathbf{x}$ 使得 $\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$，其中 $\lambda$ 是特征值。
公式：$\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$
提示：注意 $\mathbf{x}$ 必须是非零向量。
步骤 2/6
目标：建立特征方程
将 $\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ 改写为 $(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$，其中 $\mathbf{I}$ 是单位矩阵。由于 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，系数矩阵 $\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}$ 必须是奇异的，即行列式为零。
公式：$\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$
提示：不要忘记减去 $\lambda$ 乘以单位矩阵，而不是直接减 $\lambda$。
步骤 3/6
目标：计算特征多项式
对于给定的矩阵 $\mathbf{A}$，计算行列式 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})$，得到一个关于 $\lambda$ 的多项式，称为特征多项式。例如，若 $\mathbf{A}$ 是 $n \times n$ 矩阵，则特征多项式是 $n$ 次多项式。
公式：$p(\lambda) = \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})$
提示：计算行列式时注意符号和代数运算，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：求解特征方程
令特征多项式等于零，解方程 $p(\lambda) = 0$，得到的所有根即为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值。特征值可能是实数或复数。
公式：$p(\lambda) = 0$
提示：对于高次多项式，可能需要因式分解或使用数值方法。注意重根的情况。
步骤 5/6
目标：验证特征值
将求得的每个 $\lambda$ 代入 $(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$，检查是否存在非零解 $\mathbf{x}$，以确认 $\lambda$ 确实是特征值。
公式：无
提示：这一步可以验证计算是否正确，尤其是当特征多项式有重根时。
步骤 6/6
目标：总结特征值
列出所有求得的特征值，注意包括重数。例如，若特征多项式为 $(\lambda-1)^2(\lambda-3)=0$，则特征值为 $1$（二重）和 $3$。
公式：无
提示：特征值的代数重数等于特征多项式中因式的指数。
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