北京工业大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ，使得 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求特征值
计算特征多项式 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 (3-\lambda) = 0$，解得特征值 $\lambda_1 = 2$（二重），$\lambda_2 = 3$。
公式：$\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$
提示：注意行列式的计算，上三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积。
步骤 2/5
目标：求特征向量（λ=2）
解 $(\mathbf{A} - 2\mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$：$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，得 $x_2 = 0$，$x_3 = 0$，$x_1$ 自由。基础解系：$\xi_1 = (1,0,0)^\mathrm{T}$。几何重数为1，小于代数重数2，故矩阵不可对角化。
公式：$(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$
提示：注意检查几何重数是否等于代数重数，若不等则不可对角化。
步骤 3/5
目标：求特征向量（λ=3）
解 $(\mathbf{A} - 3\mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$：$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，得 $x_1 = x_2 = 0$，$x_3$ 自由。基础解系：$\xi_2 = (0,0,1)^\mathrm{T}$。
公式：$(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$
提示：注意解齐次线性方程组时，自由变量的选取。
步骤 4/5
目标：判断可对角化性
由于特征值 $\lambda=2$ 的几何重数（1）小于代数重数（2），矩阵 $\mathbf{A}$ 不可对角化。因此不存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 使得 $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ 为对角矩阵。
公式：几何重数 = 代数重数 对所有特征值成立
提示：这是判断矩阵是否可对角化的充要条件。
步骤 5/5
目标：结论
原矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ 不可对角化，故不存在满足条件的可逆矩阵 $\mathbf{P}$。
提示：注意题目可能假设矩阵可对角化，但此处矩阵不可对角化。
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