北京工业大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3、求 $A^{n}$ ，其中 $n$ 是正整数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别矩阵类型
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个上三角矩阵，且对角线元素均为1。这种矩阵称为幂零矩阵的平移，其幂次有简单规律。
提示：注意矩阵是2×2的，且右上角元素为1，其余非对角元素为0。
步骤 2/6
目标：计算低次幂，寻找规律
计算前几次幂：
$A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
公式：矩阵乘法规则：$(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$
提示：计算时注意矩阵乘法的顺序，左乘右乘结果相同因为矩阵是上三角且可交换？实际上该矩阵与自身可交换。
步骤 3/6
目标：提出归纳假设
观察前三次幂的结果，猜测 $A^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 对任意正整数 $k$ 成立。
提示：归纳假设要基于观察到的模式，注意右上角元素等于幂指数。
步骤 4/6
目标：验证归纳基础
当 $k=1$ 时，$A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，符合假设。
提示：归纳基础是数学归纳法的起点，必须验证。
步骤 5/6
目标：归纳递推证明
假设 $A^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 成立，则
$A^{k+1} = A^k \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + k \cdot 0 & 1 \cdot 1 + k \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & k+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法：$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}$
提示：计算时注意元素位置，尤其是右上角元素：1*1 + k*1 = k+1。
步骤 6/6
目标：得出结论
由数学归纳法，对任意正整数 $n$，有 $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：最终结果要明确写出矩阵形式。
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