北京工业大学 2024年高等代数第0题

由于题目未明确给出V的具体定义，我们需要根据常见情况假设V是4维向量空间。例如，V可以是所有2阶实矩阵构成的集合$M_2(\mathbb{R})$，其维数为4；或者V是$\mathbb{R}^4$本身。这里我们取$V = \mathbb{R}^4$，并配备标准内积。

验证$V = \mathbb{R}^4$满足向量空间公理： - 加法封闭性：对任意$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^4$，$\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{R}^4$。 - 数乘封闭性：对任意$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^4$和$k \in \mathbb{R}$，$k\mathbf{x} \in \mathbb{R}^4$。 - 存在零向量$\mathbf{0}=(0,0,0,0)$。 - 每个向量有负向量。 - 加法交换律、结合律、数乘分配律等均成立。因此$\mathbb{R}^4$是$\mathbb{R}$上的向量空间。

在$\mathbb{R}^4$中，标准基为$\mathbf{e}_1=(1,0,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1,0), \mathbf{e}_4=(0,0,0,1)$。它们线性无关且生成$\mathbb{R}^4$，因此$\dim \mathbb{R}^4 = 4$。

在$\mathbb{R}^4$上定义标准内积：对任意$\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4), \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3,y_4) \in \mathbb{R}^4$，令 $$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 + x_4 y_4.$$

验证标准内积满足欧氏空间内积的三条公理： - 对称性：$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$。 - 线性性：$\langle a\mathbf{x}+b\mathbf{y}, \mathbf{z} \rangle = a\langle \mathbf{x}, \mathbf{z} \rangle + b\langle \mathbf{y}, \mathbf{z} \rangle$。 - 正定性：$\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \geq 0$，且等号成立当且仅当$\mathbf{x}=\mathbf{0}$。 这些性质由定义直接可得。

由于$V = \mathbb{R}^4$是4维实向量空间，且配备了满足公理的标准内积，因此$V$是4维欧氏空间。