北京工业大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2、设 $O \neq A \in V$ ，定义：
$$
\sigma_{A}(B)=B-\frac{(2 B, A)}{(A, A)} A .
$$
证明：$\sigma_{A}$ 是可对角化的线性变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证线性性
对任意 $B, C \in V$ 和标量 $k$，计算 $\sigma_A(B+C)$ 和 $\sigma_A(kB)$：
$$
\sigma_A(B+C) = (B+C) - \frac{2(B+C, A)}{(A, A)} A = B+C - \frac{2(B,A)}{(A,A)}A - \frac{2(C,A)}{(A,A)}A = \sigma_A(B) + \sigma_A(C),
$$
$$
\sigma_A(kB) = kB - \frac{2(kB, A)}{(A, A)} A = k\left(B - \frac{2(B,A)}{(A,A)}A\right) = k \sigma_A(B).
$$
因此 $\sigma_A$ 是线性变换。
公式：\sigma_A(B) = B - \frac{2(B, A)}{(A, A)} A
提示：注意内积的线性性质：$(B+C, A) = (B,A)+(C,A)$，$(kB,A)=k(B,A)$。
步骤 2/6
目标：求特征值-1的特征向量
计算 $\sigma_A$ 在向量 $A$ 上的作用：
$$
\sigma_A(A) = A - \frac{2(A, A)}{(A, A)} A = A - 2A = -A.
$$
所以 $A$ 是特征值 $-1$ 的特征向量。
公式：\sigma_A(A) = -A
提示：注意 $(A,A) \neq 0$ 因为 $A \neq 0$。
步骤 3/6
目标：求特征值1的特征向量
对于任意与 $A$ 正交的向量 $B$，即 $(B, A) = 0$，有
$$
\sigma_A(B) = B - \frac{2 \cdot 0}{(A, A)} A = B.
$$
所以所有与 $A$ 正交的向量都是特征值 $1$ 的特征向量。
公式：\sigma_A(B) = B \text{ 当 } (B,A)=0
提示：正交条件 $(B,A)=0$ 是特征值1的充分条件，实际上也是必要条件（因为特征空间是 $A^\perp$）。
步骤 4/6
目标：确定特征空间维数
设 $V$ 是 $n$ 维内积空间。$A$ 生成一维子空间 $\operatorname{span}\{A\}$，其正交补 $A^\perp = \{B \in V : (B,A)=0\}$ 的维数为 $n-1$。由于 $A \notin A^\perp$，有直和分解 $V = \operatorname{span}\{A\} \oplus A^\perp$。因此特征值 $-1$ 的几何重数为 $1$，特征值 $1$ 的几何重数为 $n-1$。
公式：\dim A^\perp = \dim V - 1
提示：内积空间的正交补维数公式：$\dim W^\perp = \dim V - \dim W$。
步骤 5/6
目标：构造可对角化基
取 $A$ 作为特征值 $-1$ 的特征向量，再取 $A^\perp$ 的一组基（例如标准正交基）作为特征值 $1$ 的特征向量，这 $n$ 个向量线性无关，构成 $V$ 的一组基。因此 $\sigma_A$ 在这组基下的矩阵是对角矩阵 $\operatorname{diag}(-1, 1, \dots, 1)$。
提示：注意 $A$ 与 $A^\perp$ 中任何向量线性无关，因为 $A$ 不在 $A^\perp$ 中。
步骤 6/6
目标：结论
由于 $\sigma_A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，故 $\sigma_A$ 可对角化。
提示：可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于代数重数，这里特征值1的代数重数至少为 $n-1$，特征值-1的代数重数至少为1，且和为 $n$，故相等。
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