北京工业大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3、设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ 。求 $V$ 的一组基，使得 $\sigma_{A}$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵，并求出该对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义线性变换和基
设 $V$ 是 $2\times 2$ 实矩阵空间，线性变换 $\sigma_A: V \to V$ 定义为 $\sigma_A(X) = AX$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。取 $V$ 的标准基：$E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意线性变换的定义：左乘矩阵A。
步骤 2/6
目标：计算变换在标准基下的矩阵
计算 $\sigma_A$ 在标准基下的作用：
- $\sigma_A(E_{11}) = A E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = E_{11}$
- $\sigma_A(E_{12}) = A E_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = E_{12}$
- $\sigma_A(E_{21}) = A E_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = E_{11}$
- $\sigma_A(E_{22}) = A E_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = E_{12}$
所以 $\sigma_A$ 在标准基下的矩阵为 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵乘法的顺序：左乘A。
步骤 3/6
目标：求矩阵B的特征值
求 $B$ 的特征多项式：$\det(\lambda I - B) = \det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = (\lambda-1)^2 \lambda^2$。特征值为 $\lambda=1$（代数重数2）和 $\lambda=0$（代数重数2）。
公式：$\det(\lambda I - B) = 0$
提示：计算行列式时注意分块矩阵或直接展开。
步骤 4/6
目标：求特征值1的特征向量
解 $(I-B)v=0$，其中 $I-B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。得 $v = (a, b, a, b)^T$，基为 $v_1=(1,0,1,0)^T$, $v_2=(0,1,0,1)^T$。对应矩阵：$X_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $X_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$(\lambda I - B)v = 0$
提示：注意将向量形式转换为矩阵形式。
步骤 5/6
目标：求特征值0的特征向量
解 $Bv=0$，即 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} v = 0$。得 $v = (c, d, -c, -d)^T$，基为 $v_3=(1,0,-1,0)^T$, $v_4=(0,1,0,-1)^T$。对应矩阵：$X_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $X_4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。
公式：$Bv = 0$
提示：注意解齐次线性方程组时自由变量的选取。
步骤 6/6
目标：构造基和对角矩阵
因此，$V$ 的一组基为 $\{X_1, X_2, X_3, X_4\}$，即 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\}$。$\sigma_A$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,1,0,0)$，即 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：验证：每个基向量在变换下是否被映射为自身的倍数。
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