北京工业大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1、证明：矩阵 $\mathbf{A}$ 相似于上三角矩阵：
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda_{1} & * & * & \cdots & * \\
& \lambda_{2} & * & \cdots & * \\
& & \lambda_{3} & \cdots & * \\
& & & \ddots & \vdots \\
& & & & \lambda_{n}
\end{array}\right) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确问题与基本思路
我们要证明任意 $n$ 阶复矩阵 $\mathbf{A}$ 都相似于一个上三角矩阵，其对角线元素为特征值。采用数学归纳法，对阶数 $n$ 进行归纳。
提示：注意：复数域上特征多项式可分解，这是归纳的基础。
步骤 2/7
目标：归纳基始：n=1
当 $n=1$ 时，矩阵本身就是一个 $1\times 1$ 的上三角矩阵，结论显然成立。
提示：基始情况简单，但不可忽略。
步骤 3/7
目标：归纳假设
假设对于所有 $n-1$ 阶复矩阵，结论成立，即任意 $n-1$ 阶复矩阵都相似于一个上三角矩阵。
提示：归纳假设要明确：是相似于上三角矩阵，而不是本身就是上三角。
步骤 4/7
目标：取特征值与特征向量
考虑 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$。由于特征多项式在复数域可分解，$\mathbf{A}$ 至少有一个特征值 $\lambda_1$，取对应的一个特征向量 $\mathbf{v}_1$（非零）。
公式：$\mathbf{A}\mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{v}_1$
提示：特征向量必须非零；复数域保证特征值存在。
步骤 5/7
目标：扩充基并构造相似变换
将 $\mathbf{v}_1$ 扩充为 $\mathbb{C}^n$ 的一组基 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$。令 $\mathbf{P} = [\mathbf{v}_1 \, \mathbf{v}_2 \, \dots \, \mathbf{v}_n]$，则 $\mathbf{P}$ 可逆。计算 $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ 的第一列：因为 $\mathbf{A}\mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{v}_1$，所以第一列为 $(\lambda_1, 0, \dots, 0)^T$。于是得到分块形式：
$$\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \mathbf{b} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B} \end{pmatrix},$$
其中 $\mathbf{b}$ 是 $1\times (n-1)$ 行向量，$\mathbf{B}$ 是 $(n-1)\times (n-1)$ 矩阵。
公式：$\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \mathbf{b} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B} \end{pmatrix}$
提示：注意 $\mathbf{P}$ 的列顺序：第一列是特征向量；$\mathbf{0}$ 表示 $(n-1)\times 1$ 零列向量。
步骤 6/7
目标：对子块应用归纳假设
矩阵 $\mathbf{B}$ 是 $n-1$ 阶复矩阵，由归纳假设，存在可逆矩阵 $\mathbf{Q}$ 使得 $\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q}$ 为上三角矩阵。
提示：归纳假设应用于 $\mathbf{B}$，注意 $\mathbf{B}$ 的阶数是 $n-1$。
步骤 7/7
目标：构造整体相似变换
构造可逆矩阵 $\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q} \end{pmatrix}$，其中 $\mathbf{0}$ 是适当维数的零矩阵。则
$$\mathbf{R}^{-1} \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} \mathbf{R} = \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & \mathbf{b} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \mathbf{b}\mathbf{Q} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q} \end{pmatrix}.$$
由于 $\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q}$ 是上三角矩阵，整个矩阵是上三角矩阵。因此 $\mathbf{A}$ 相似于上三角矩阵。归纳完成。
公式：$\mathbf{R}^{-1} \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} \mathbf{R} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \mathbf{b}\mathbf{Q} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q} \end{pmatrix}$
提示：注意 $\mathbf{R}$ 的逆矩阵是 $\begin{pmatrix} 1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}^{-1} \end{pmatrix}$；最终矩阵的对角线元素为 $\lambda_1$ 和 $\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q}$ 的对角线元素，即 $\mathbf{A}$ 的特征值。
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