北京工业大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2、若 $-\lambda_{i},(i=1,2, \cdots, n)$ 全都不是 $A$ 的特征值．证明： $\varphi: x \mapsto x A+A^{T} x$ 是 $M_{n}(\mathbb{P})$ 上的同构线性变换，其中 $\mathbf{x} \in \mathbf{M}_{\mathbf{n}}(\mathbb{P}), \mathbf{M}_{\mathbf{n}}(\mathbb{P})$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上所有 $\mathbf{n}$ 阶方阵做矩阵加法和矩阵数乘而构成的线性空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义映射并验证线性性
定义映射 $\varphi: M_n(\mathbb{P}) \to M_n(\mathbb{P})$ 为 $\varphi(X) = XA + A^T X$。对任意 $X, Y \in M_n(\mathbb{P})$ 和 $k \in \mathbb{P}$，有
\[
\varphi(X+Y) = (X+Y)A + A^T (X+Y) = XA + YA + A^T X + A^T Y = \varphi(X) + \varphi(Y),
\]
\[
\varphi(kX) = (kX)A + A^T (kX) = k(XA) + k(A^T X) = k \varphi(X).
\]
因此 $\varphi$ 是线性变换。
公式：$\varphi(X) = XA + A^T X$
提示：注意矩阵乘法不交换，但加法满足分配律。
步骤 2/6
目标：将问题转化为特征值问题
考虑线性变换 $\mathcal{L}_A: M_n(\mathbb{P}) \to M_n(\mathbb{P})$ 定义为 $\mathcal{L}_A(Y) = AY$，以及 $\mathcal{R}_A: M_n(\mathbb{P}) \to M_n(\mathbb{P})$ 定义为 $\mathcal{R}_A(Y) = YA$。则 $\varphi(X) = \mathcal{R}_A(X) + \mathcal{L}_{A^T}(X)$。由于 $\mathcal{L}_A$ 和 $\mathcal{R}_A$ 可交换（因为 $\mathcal{L}_A \mathcal{R}_A(Y) = A(YA) = (AY)A = \mathcal{R}_A \mathcal{L}_A(Y)$），它们可同时对角化。
公式：$\varphi = \mathcal{R}_A + \mathcal{L}_{A^T}$
提示：注意 $\mathcal{L}_{A^T}$ 与 $\mathcal{L}_A$ 的特征值相同，因为 $A^T$ 与 $A$ 有相同特征值。
步骤 3/6
目标：计算 $\varphi$ 的特征值
设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$，则 $\mathcal{L}_A$ 的特征值为 $\lambda_i$（$i=1,\dots,n$），$\mathcal{R}_A$ 的特征值也为 $\lambda_i$。由于 $\mathcal{L}_A$ 和 $\mathcal{R}_A$ 可交换，$\varphi = \mathcal{R}_A + \mathcal{L}_{A^T}$ 的特征值为 $\lambda_i + \lambda_j$（$i,j=1,\dots,n$）。
公式：$\varphi$ 的特征值为 $\lambda_i + \lambda_j$
提示：注意 $\mathcal{L}_{A^T}$ 的特征值也是 $\lambda_i$，因为 $A^T$ 与 $A$ 有相同特征多项式。
步骤 4/6
目标：利用条件证明 $0$ 不是特征值
由题设，$-\lambda_i$ 不是 $A$ 的特征值，即对任意 $i$，$-\lambda_i \neq \lambda_j$ 对任意 $j$ 成立。因此 $\lambda_i + \lambda_j \neq 0$ 对所有 $i,j$ 成立。故 $0$ 不是 $\varphi$ 的特征值，从而 $\varphi$ 可逆。
公式：$\lambda_i + \lambda_j \neq 0$
提示：注意条件等价于 $\lambda_i + \lambda_j \neq 0$ 对所有 $i,j$ 成立。
步骤 5/6
目标：证明 $\varphi$ 是单射
由于 $0$ 不是 $\varphi$ 的特征值，$\ker \varphi = \{0\}$，即 $\varphi$ 是单射。另一种直接证明：假设 $\varphi(X)=0$，则 $XA = -A^T X$。反复迭代得 $X A^k = (-1)^k (A^T)^k X$。取 $A$ 的极小多项式 $m(t)$，则 $m(A)=0$，$m(A^T)=0$。由 $X m(A) = m(-A^T) X$ 得 $0 = m(-A^T) X$。由于 $-\lambda_i$ 不是 $A$ 的特征值，$m(-\lambda_i) \neq 0$，故 $m(-A^T)$ 可逆，推出 $X=0$。
公式：$X A^k = (-1)^k (A^T)^k X$
提示：注意极小多项式 $m(t)$ 满足 $m(A)=0$，且 $m(-A^T)$ 可逆当且仅当 $m(-\lambda_i) \neq 0$。
步骤 6/6
目标：由单射推出同构
由于 $M_n(\mathbb{P})$ 是有限维线性空间，单射线性变换必为满射，从而是同构。因此 $\varphi$ 是 $M_n(\mathbb{P})$ 上的同构线性变换。
提示：有限维线性空间中，单射等价于满射，也等价于可逆。
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