北京工业大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1、设 $n$ 阶实方阵 $A$ 和 $B$ 满足：$A B+B A=O$ ，如果 $A$ 是 $n$ 阶实对称的半正定方阵，那么 $A B=B A=O$ 成立吗？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用对称半正定性进行正交对角化
由于 $A$ 是 $n$ 阶实对称半正定矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i \ge 0$。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：注意正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，且半正定矩阵的特征值非负。
步骤 2/6
目标：变换条件等式
令 $C = Q^T B Q$，则条件 $AB + BA = O$ 化为 $\Lambda C + C \Lambda = O$。这是因为 $Q^T (AB+BA) Q = Q^T A Q Q^T B Q + Q^T B Q Q^T A Q = \Lambda C + C \Lambda = O$。
公式：$\Lambda C + C \Lambda = O$
提示：注意矩阵乘法顺序，$Q^T A Q$ 是对角矩阵，但 $C$ 不一定是对角矩阵。
步骤 3/6
目标：推导元素关系
考虑 $\Lambda C + C \Lambda = O$ 的 $(i,j)$ 元：$\lambda_i c_{ij} + c_{ij} \lambda_j = (\lambda_i + \lambda_j) c_{ij} = 0$。因此，对任意 $i,j$，有 $(\lambda_i + \lambda_j) c_{ij} = 0$。
公式：$(\lambda_i + \lambda_j) c_{ij} = 0$
提示：注意 $\lambda_i$ 和 $\lambda_j$ 都是非负实数，所以 $\lambda_i + \lambda_j = 0$ 当且仅当 $\lambda_i = \lambda_j = 0$。
步骤 4/6
目标：分析非零特征值对应的元素
若 $\lambda_i > 0$ 或 $\lambda_j > 0$，则 $\lambda_i + \lambda_j > 0$，从而 $c_{ij} = 0$。特别地，当 $\lambda_i > 0$ 且 $\lambda_j = 0$ 时，$c_{ij}=0$；当 $\lambda_i = 0$ 且 $\lambda_j > 0$ 时，$c_{ij}=0$；当 $\lambda_i > 0$ 且 $\lambda_j > 0$ 时，$c_{ij}=0$。
提示：注意不要遗漏 $\lambda_i > 0, \lambda_j = 0$ 和 $\lambda_i = 0, \lambda_j > 0$ 的情况。
步骤 5/6
目标：验证 $\Lambda C = O$ 和 $C \Lambda = O$
考虑 $\Lambda C$ 的 $(i,j)$ 元为 $\lambda_i c_{ij}$。若 $\lambda_i > 0$，则 $c_{ij}=0$（由前一步），故 $\lambda_i c_{ij}=0$；若 $\lambda_i = 0$，则 $\lambda_i c_{ij}=0$。因此 $\Lambda C = O$。同理，$C \Lambda$ 的 $(i,j)$ 元为 $c_{ij} \lambda_j$，若 $\lambda_j > 0$ 则 $c_{ij}=0$，否则 $\lambda_j=0$，故 $C \Lambda = O$。
公式：$\Lambda C = O$, $C \Lambda = O$
提示：注意 $\Lambda C$ 和 $C \Lambda$ 都是零矩阵，但 $C$ 不一定为零矩阵。
步骤 6/6
目标：还原到原矩阵
由 $\Lambda C = O$ 得 $Q^T A Q \cdot Q^T B Q = O$，左乘 $Q$ 右乘 $Q^T$ 得 $A B = O$。同理，由 $C \Lambda = O$ 得 $B A = O$。因此 $AB = BA = O$。
公式：$AB = O$, $BA = O$
提示：注意 $Q$ 是正交矩阵，$Q Q^T = I$，所以左乘 $Q$ 右乘 $Q^T$ 是合法的。
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