北京科技大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
七．（ 15 分）证明：$\displaystyle f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}$ 无重根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：假设存在重根
假设 $f(x)$ 有重根 $\alpha$，则根据重根定义，有 $f(\alpha)=0$ 且 $f'(\alpha)=0$。
提示：重根的定义：若 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的重根，则 $f(\alpha)=f'(\alpha)=0$。
步骤 2/7
目标：计算导数
计算 $f(x)$ 的导数：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}.$$
公式：$$f'(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}$$
提示：注意导数最后一项：$\frac{d}{dx}\frac{x^n}{n!} = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$。
步骤 3/7
目标：建立导数与原函数的关系
观察 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 的关系：
$$f(x) = f'(x) + \frac{x^n}{n!}.$$
因此，$f'(x) = f(x) - \frac{x^n}{n!}$。
公式：$$f'(x) = f(x) - \frac{x^n}{n!}$$
提示：注意 $f(x)$ 比 $f'(x)$ 多一项 $\frac{x^n}{n!}$。
步骤 4/7
目标：代入重根条件
由 $f(\alpha)=0$ 和 $f'(\alpha)=0$，代入关系式得：
$$0 = f'(\alpha) = f(\alpha) - \frac{\alpha^n}{n!} = 0 - \frac{\alpha^n}{n!}.$$
所以 $-\frac{\alpha^n}{n!}=0$，即 $\alpha^n=0$。
公式：$$\alpha^n = 0$$
提示：注意 $n! \neq 0$，因此 $\alpha^n=0$。
步骤 5/7
目标：推出根的值
由 $\alpha^n=0$ 可得 $\alpha=0$（因为 $n\geq 1$，实数或复数域中只有零的 $n$ 次幂为零）。
提示：在复数域中，$\alpha^n=0$ 也推出 $\alpha=0$。
步骤 6/7
目标：检验矛盾
计算 $f(0)$：
$$f(0) = 1 + \frac{0}{1!} + \frac{0^2}{2!} + \cdots + \frac{0^n}{n!} = 1 \neq 0.$$
这与 $f(\alpha)=0$ 矛盾。
提示：注意 $f(0)=1$，不是零。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此假设不成立，$f(x)$ 无重根。
提示：反证法：假设导致矛盾，故原命题成立。
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