北京科技大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
三．（20分）已知矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 3 & 2 \\
-2 & 6 & 4
\end{array}\right)
$$
$\displaystyle \mathbb{R}^{n \times 5}$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的所有 $\displaystyle n \times 5$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle W=\left\{B \in \mathbb{R}^{n \times 5} \mid B A=O\right\}$ ，其中 $O$ 为零矩阵．
（1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times 5}$ 的子空间；
（2）求 $W$ 的一组基和维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明W是子空间
设 $B_1, B_2 \in W$，则 $B_1 A = O$，$B_2 A = O$。对任意 $k \in \mathbb{R}$，有 $(B_1 + B_2)A = B_1 A + B_2 A = O$，$(k B_1)A = k(B_1 A) = O$，所以 $B_1 + B_2 \in W$，$k B_1 \in W$。又 $O \in W$，故 $W$ 是 $\mathbb{R}^{n \times 5}$ 的子空间。
提示：注意验证零矩阵属于W，以及加法封闭和数乘封闭。
步骤 2/6
目标：分析W的结构
$W = \{ B \in \mathbb{R}^{n \times 5} \mid B A = O \}$。$B A = O$ 意味着 $B$ 的每一行与 $A$ 的每一列正交，即 $B$ 的行向量属于 $A$ 的列空间的正交补 $C(A)^\perp$。因此 $W$ 的维数等于 $n \times \dim(C(A)^\perp)$。
公式：$W \cong (C(A)^\perp)^n$
提示：理解行向量与列空间正交的关系。
步骤 3/6
目标：求矩阵A的秩
对 $A$ 进行行变换：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 4 \end{pmatrix}$$
$r_2 + r_1$，$r_4 + r_1$，$r_5 + 2r_1$ 得
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 4 \end{pmatrix}$$
$r_3 - r_2$，$r_4 - 2r_2$，$r_5 - 4r_2$ 得
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
所以 $\text{rank}(A) = 2$。
提示：行变换时注意不要出错，最终阶梯形非零行数即为秩。
步骤 4/6
目标：计算C(A)^⊥的维数
$C(A) \subseteq \mathbb{R}^5$，$\dim C(A) = \text{rank}(A) = 2$，故 $\dim C(A)^\perp = 5 - 2 = 3$。因此 $W$ 的维数为 $n \times 3 = 3n$。
公式：$\dim C(A)^\perp = 5 - \text{rank}(A)$
提示：注意A是5×3矩阵，列空间在R^5中。
步骤 5/6
目标：求C(A)^⊥的一组基
解 $A^T x = 0$。$A^T$ 为 $3 \times 5$ 矩阵：
$$A^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$
行化简：$r_2 + r_1$ 得
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$
$r_3 - r_2$ 得
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
$r_1 + r_2$ 得
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
自由变量为 $x_3, x_4, x_5$，得解：
$$\begin{cases} x_1 = -x_3 - x_4 - 2x_5 \\ x_2 = -x_3 - 2x_4 - 4x_5 \\ x_3 = x_3 \\ x_4 = x_4 \\ x_5 = x_5 \end{cases}$$
取 $(x_3,x_4,x_5) = (1,0,0)$ 得 $v_1 = (-1,-1,1,0,0)^T$；
取 $(0,1,0)$ 得 $v_2 = (-1,-2,0,1,0)^T$；
取 $(0,0,1)$ 得 $v_3 = (-2,-4,0,0,1)^T$。
故 $C(A)^\perp$ 的一组基为 $\{v_1, v_2, v_3\}$。
提示：注意解齐次线性方程组时，自由变量的选取和基向量的构造。
步骤 6/6
目标：构造W的一组基
将 $C(A)^\perp$ 的基向量作为行向量，构造 $n$ 行中只有一行非零的矩阵。具体地，$W$ 的一组基为：
$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} v_1^T \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_2^T \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_3^T \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\\ &\begin{pmatrix} 0 \\ v_1^T \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ v_2^T \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ v_3^T \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\\ &\cdots,\\ &\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ v_1^T \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ v_2^T \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ v_3^T \end{pmatrix} \end{aligned}$$
共 $3n$ 个矩阵，它们线性无关且张成 $W$。
提示：注意每个基矩阵只有一行非零，且该行取自C(A)^⊥的基向量。
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