北京科技大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
九．（15 分）已知 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}, \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}$ 为两个非零实向量 $\displaystyle (n>1), A=\alpha \beta^{T}$ ．
（1）求 $A$ 的最小多项式；
（2）求 $A$ 的若尔当标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵A的结构和秩
已知 $A = \alpha \beta^T$，其中 $\alpha, \beta$ 是 $n$ 维非零实列向量。由于 $\alpha \beta^T$ 是列向量乘以行向量，其每一列都是 $\alpha$ 的倍数，因此 $\operatorname{rank}(A) = 1$（因为 $\alpha, \beta$ 非零）。
公式：$A = \alpha \beta^T$
提示：注意秩为1的矩阵可以表示为列向量与行向量的乘积。
步骤 2/6
目标：求A的特征值
由于 $\operatorname{rank}(A)=1$，$A$ 有 $n-1$ 个零特征值。另一个特征值等于 $A$ 的迹：$\operatorname{tr}(A) = \beta^T \alpha = \sum_{i=1}^n a_i b_i$。因此特征值为 $\lambda_1 = \beta^T \alpha$（非零，因为 $\alpha, \beta$ 非零但内积可能为零）和 $\lambda_2 = 0$（$n-1$ 重）。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \beta^T \alpha$
提示：注意 $\beta^T \alpha$ 可能为零，此时所有特征值为0。
步骤 3/6
目标：确定最小多项式（情况1：$\beta^T \alpha \neq 0$）
当 $\beta^T \alpha \neq 0$ 时，$A$ 有非零特征值，且 $A$ 不是数量矩阵（因为 $n>1$ 且秩为1），所以最小多项式必须包含因子 $\lambda$ 和 $\lambda - \beta^T \alpha$。由于 $A$ 可对角化（见后），最小多项式为 $\lambda(\lambda - \beta^T \alpha)$。
公式：$m(\lambda) = \lambda(\lambda - \beta^T \alpha)$
提示：最小多项式是特征多项式的最小公倍式，且每个特征值对应一个一次因子。
步骤 4/6
目标：确定最小多项式（情况2：$\beta^T \alpha = 0$）
当 $\beta^T \alpha = 0$ 时，$A$ 是幂零矩阵。计算 $A^2 = \alpha \beta^T \alpha \beta^T = (\beta^T \alpha) \alpha \beta^T = 0$，所以 $A^2=0$ 但 $A \neq 0$，因此最小多项式为 $\lambda^2$。
公式：$A^2 = (\beta^T \alpha) A = 0$
提示：注意 $A^2=0$ 是因为 $\beta^T \alpha=0$，但 $A$ 本身非零。
步骤 5/6
目标：求Jordan标准形（情况1：$\beta^T \alpha \neq 0$）
当 $\beta^T \alpha \neq 0$ 时，$A$ 有 $n-1$ 个零特征值和一个非零特征值。由于 $\operatorname{rank}(A)=1$，零特征值的几何重数为 $n-1$（因为零空间维数 $n-1$），代数重数也为 $n-1$，所以零特征值对应的Jordan块都是一阶的。非零特征值对应的Jordan块也是一阶的。因此 $A$ 可对角化，Jordan标准形为 $\operatorname{diag}(\beta^T \alpha, 0, \dots, 0)$。
公式：$J = \operatorname{diag}(\beta^T \alpha, 0, \dots, 0)$
提示：可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于代数重数。
步骤 6/6
目标：求Jordan标准形（情况2：$\beta^T \alpha = 0$）
当 $\beta^T \alpha = 0$ 时，$A$ 是幂零矩阵，且 $A^2=0$，$A \neq 0$。由于 $\operatorname{rank}(A)=1$，零特征值的几何重数为 $n-1$，代数重数为 $n$。因此Jordan标准形中有一个2阶Jordan块（对应一个特征向量和一个广义特征向量），其余 $n-2$ 个一阶零块。即 $J = \operatorname{diag}(J_2(0), 0_{n-2})$，其中 $J_2(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0_{n-2} \end{pmatrix}$
提示：注意 $n>1$，当 $n=2$ 时，Jordan标准形就是 $J_2(0)$。
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