北京科技大学 2023年高等代数第0题

写出方程组 $AX=\beta$ 的增广矩阵 $\bar{A} = (A|\beta)$，并交换第1行与第3行，使第1行第1列为1，便于消元。 $$ \bar{A} = \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & a & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 1 & b \end{array}\right) \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_3} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & a & 4 \\ 3 & 5 & 1 & b \end{array}\right) $$

将第3行减去2倍第1行，第4行减去3倍第1行，使第1列除第1行外全为0。 $$ \xrightarrow[r_4 - 3r_1]{r_3 - 2r_1} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & a-2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & b-3 \end{array}\right) $$

将第3行减去第2行，第4行减去2倍第2行，使第2列除第1、2行外全为0。 $$ \xrightarrow[r_4 - 2r_2]{r_3 - r_2} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b-7 \end{array}\right) $$

根据阶梯形矩阵，系数矩阵的秩 $r(A)$ 和增广矩阵的秩 $r(\bar{A})$ 取决于 $a$ 和 $b$。 - 当 $a \neq 1$ 时，第3行非零，$r(A)=3$，且第4行全零，$r(\bar{A})=3$，方程组有唯一解。 - 当 $a = 1$ 时，第3行全零，$r(A)=2$。此时： - 若 $b \neq 7$，第4行非零，$r(\bar{A})=3$，方程组无解。 - 若 $b = 7$，第4行全零，$r(\bar{A})=2$，方程组有无穷多解。

当 $a=1, b=7$ 时，增广矩阵化为： $$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$

对应方程组为： $$ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_2 - x_3 = 2 \end{cases} $$ 未知数个数为3，秩为2，自由变量个数为 $3-2=1$。取 $x_3$ 为自由变量。

由第2个方程得 $x_2 = 2 + x_3$。代入第1个方程：$x_1 + (2 + x_3) + x_3 = 1$，解得 $x_1 = -1 - 2x_3$。令 $x_3 = k$（$k \in \mathbb{R}$），则： $$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 2k \\ 2 + k \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

综上： - 当 $a \neq 1$ 时，方程组有唯一解。 - 当 $a = 1$ 且 $b \neq 7$ 时，方程组无解。 - 当 $a = 1$ 且 $b = 7$ 时，方程组有无穷多解，通解为 $X = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$k \in \mathbb{R}$。