北京科技大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
五．（20 分）$\displaystyle P^{2 \times 2}$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle 2 \times 2$ 方阵构成的线性空间．令 $\displaystyle \sigma: P^{2 \times 2} \rightarrow P^{2 \times 2}$ ，对任意的 $\displaystyle X \in P^{2 \times 2}$ ，有 $\displaystyle \sigma(X)=A X B$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ．
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的表示矩阵。
（3）是否存在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的某组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵？存在的话，求出基和对应的对角阵。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明线性变换
对任意 $X,Y\in P^{2\times 2}$，$k\in P$，有
\[
\sigma(X+Y)=A(X+Y)B=AXB+AYB=\sigma(X)+\sigma(Y),
\]
\[
\sigma(kX)=A(kX)B=k(AXB)=k\sigma(X).
\]
故 $\sigma$ 是线性变换。
公式：线性变换定义：$\sigma(X+Y)=\sigma(X)+\sigma(Y)$，$\sigma(kX)=k\sigma(X)$
提示：注意矩阵乘法分配律和数乘的结合律。
步骤 2/6
目标：计算基下像的坐标
计算 $\sigma(E_{ij})=A E_{ij} B$：
\[
\sigma(E_{11})=A\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=0\cdot E_{11}+(-1)E_{12}+0\cdot E_{21}+1\cdot E_{22}.
\]
\[
\sigma(E_{12})=A\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}=(-1)E_{11}+0\cdot E_{12}+1\cdot E_{21}+0\cdot E_{22}.
\]
\[
\sigma(E_{21})=A\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & 0\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}=0\cdot E_{11}+1\cdot E_{12}+0\cdot E_{21}+(-1)E_{22}.
\]
\[
\sigma(E_{22})=A\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot E_{11}+0\cdot E_{12}+(-1)E_{21}+0\cdot E_{22}.
\]
公式：矩阵乘法
提示：注意矩阵乘法顺序：先左乘A，再右乘B。
步骤 3/6
目标：写出表示矩阵
将像的坐标按列排列，得到表示矩阵
\[
M=\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 1\\
-1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1\\
1 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
提示：矩阵的第j列是第j个基向量的像的坐标。
步骤 4/6
目标：分析特征值
注意到 $\sigma(X)=AXB$，$A$ 的特征值为 $0,-2$，$B$ 的特征值为 $1,-1$。$\sigma$ 的特征值形如 $\lambda_i\mu_j$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值，$\mu_j$ 是 $B$ 的特征值。因此可能特征值为 $0\cdot1=0$，$0\cdot(-1)=0$，$(-2)\cdot1=-2$，$(-2)\cdot(-1)=2$。即特征值为 $0$（重数2），$-2$，$2$。
公式：Kronecker积的性质：$\sigma$ 的特征值为 $A$ 和 $B^T$ 的特征值乘积
提示：注意 $B$ 对称，$B^T=B$。
步骤 5/6
目标：求特征向量
对于特征值 $2$，解 $AXB=2X$，即 $AX=2XB$。解得 $x_{11}=x_{22}$，$x_{12}=x_{21}$，且 $x_{11}=-x_{12}$。取 $x_{11}=1$，得 $X_1=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$。
对于特征值 $-2$，解 $AXB=-2X$，即 $AX=-2XB$。解得 $x_{11}=x_{22}$，$x_{12}=x_{21}$，且 $x_{11}=x_{12}$。取 $x_{11}=1$，得 $X_2=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$。
对于特征值 $0$，解 $AXB=0$，等价于 $AX=0$（$B$ 可逆）。$A$ 的零空间维数为2，解为 $x_{11}=x_{21}$，$x_{12}=x_{22}$。取两个线性无关的解：$X_3=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$，$X_4=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$。
公式：特征方程 $AXB=\lambda X$ 转化为 $AX=\lambda X B^{-1}$
提示：注意 $B^{-1}=B$，且 $A$ 不可逆，零空间需仔细求解。
步骤 6/6
目标：构造对角化基和对角阵
取基 $\{X_1,X_2,X_3,X_4\}$，则 $\sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵 $\operatorname{diag}(2,-2,0,0)$。
提示：验证基的线性无关性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。