北京科技大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，$B$ 为 $m$ 阶复方阵，且存在秩为 $r$ 的矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A X=X B$ ，其中 $\displaystyle 1 \leq r \leq \min \{n, m\}$ ．证明：$A$ 与 $B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（重根按重数计算）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用秩分解将X化为标准形
由于$X$的秩为$r$，存在可逆矩阵$P\in\mathbb{C}^{n\times n}$，$Q\in\mathbb{C}^{m\times m}$使得$X=P\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}Q$，其中$I_r$是$r$阶单位矩阵。
公式：X = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意$P$和$Q$是可逆的，且$r$是$X$的秩。
步骤 2/5
目标：代入方程并化简
将$X$的表达式代入$AX=XB$，得$A P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q B$。左乘$P^{-1}$，右乘$Q^{-1}$，得$P^{-1}AP \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} QBQ^{-1}$。记$A_1=P^{-1}AP$，$B_1=QBQ^{-1}$，则$A_1 \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} B_1$。
公式：A_1 \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} B_1
提示：注意矩阵乘法的顺序，左乘和右乘不可交换。
步骤 3/5
目标：分块矩阵并比较等式
将$A_1$和$B_1$分块为$A_1=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$，$B_1=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$，其中$A_{11},B_{11}$为$r\times r$矩阵。计算左边：$A_1\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & 0 \end{pmatrix}$；右边：$\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}B_1=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。由等式得$A_{11}=B_{11}$，$A_{21}=0$，$B_{12}=0$。
公式：A_{11}=B_{11}, A_{21}=0, B_{12}=0
提示：分块矩阵乘法时注意块的大小匹配。
步骤 4/5
目标：得到A1和B1的块三角形式
由上述结果，$A_1=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}$，$B_1=\begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$。因此$A$与$A_1$相似，$B$与$B_1$相似，特征值相同。
公式：A_1 = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}, B_1 = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}
提示：相似变换不改变特征值。
步骤 5/5
目标：计算特征多项式并比较公共特征值
$A_1$的特征多项式为$\det(\lambda I - A_1) = \det(\lambda I_r - A_{11}) \det(\lambda I_{n-r} - A_{22})$。$B_1$的特征多项式为$\det(\lambda I - B_1) = \det(\lambda I_r - A_{11}) \det(\lambda I_{m-r} - B_{22})$。因此$A$和$B$的特征多项式都含有因子$\det(\lambda I_r - A_{11})$，即它们至少有$r$个公共特征值（重根按重数计算）。
公式：\det(\lambda I - A_1) = \det(\lambda I_r - A_{11}) \det(\lambda I_{n-r} - A_{22})
提示：注意特征多项式分解时，块三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积。
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