北京科技大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
六．（20 分）$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性反称变换，即对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)+(\alpha, \sigma(\beta))=0$ ，其中 $\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示欧氏空间的内积。证明：存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $\displaystyle \sigma^{2}$ 在此组基下的矩阵为对角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确反称变换的定义
已知 $\sigma$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性反称变换，即对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(\sigma(\alpha), \beta) + (\alpha, \sigma(\beta)) = 0$。
公式：$(\sigma(\alpha), \beta) + (\alpha, \sigma(\beta)) = 0$
提示：注意反称变换与对称变换的区别：对称变换满足 $(\sigma(\alpha), \beta) = (\alpha, \sigma(\beta))$。
步骤 2/5
目标：证明 $\sigma^2$ 是对称变换
对任意 $\alpha, \beta \in V$，计算 $(\sigma^2(\alpha), \beta)$。利用反称性：$(\sigma^2(\alpha), \beta) = (\sigma(\sigma(\alpha)), \beta) = -(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))$。再对 $(\alpha, \sigma^2(\beta))$ 类似计算：$(\alpha, \sigma^2(\beta)) = (\alpha, \sigma(\sigma(\beta))) = -(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))$。因此 $(\sigma^2(\alpha), \beta) = (\alpha, \sigma^2(\beta))$，故 $\sigma^2$ 是对称变换。
公式：$(\sigma^2(\alpha), \beta) = (\alpha, \sigma^2(\beta))$
提示：注意每一步应用反称性时，内积中两个向量的顺序要正确。
步骤 3/5
目标：应用实对称谱定理
由于 $\sigma^2$ 是实欧氏空间上的对称变换（自伴算子），根据实对称谱定理，存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $\sigma^2$ 在此基下的矩阵为对角阵。
提示：实对称谱定理要求算子是对称的，且空间是有限维实内积空间。
步骤 4/5
目标：验证 $\sigma^2$ 的半正定性（可选）
对任意 $\alpha \in V$，有 $(\sigma^2(\alpha), \alpha) = (\sigma(\alpha), \sigma(\alpha)) \ge 0$，因此 $\sigma^2$ 是半正定的，其特征值非负。这进一步说明对角阵的对角元非负。
公式：$(\sigma^2(\alpha), \alpha) = (\sigma(\alpha), \sigma(\alpha)) \ge 0$
提示：半正定性不是证明存在标准正交基的必要条件，但有助于理解特征值的性质。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $\sigma^2$ 在此基下的矩阵为对角阵。
提示：注意：这里只要求 $\sigma^2$ 对角化，不要求 $\sigma$ 本身对角化。
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