北京科技大学 2023年高等代数第0题

四．（15 分）设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X^{\prime} A X$ 为实系数二次型，实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1$（二重）， $\displaystyle \lambda_{2}=-1$（二重）．且 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \varepsilon_{2}=(1,1,0,1)^{\prime}$ 为属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1$ 的特征向量．求二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 的表达式。