北京科技大学 2025年高等代数第3题
📝 题目
3．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其元素 $\displaystyle a_{i j}$ 都为整数 $\displaystyle (i, j=1,2, \cdots, n)$ ．令
$$
d=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{11}-\frac{1}{k} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22}-\frac{1}{k} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdots & a_{n n}-\frac{1}{k}
\end{array}\right| .
$$
这里 $k$ 为正整数且 $\displaystyle k \geq 2$ ．证明：$\displaystyle d \neq 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义矩阵B并表达d
设矩阵 $B = A - \frac{1}{k} I_n$，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。则 $d = \det(B)$。
公式：B = A - \frac{1}{k} I_n, \quad d = \det(B)
提示：注意 $B$ 不是整数矩阵，因为含有 $\frac{1}{k}$。
步骤 2/5
目标：考虑k倍矩阵并利用整数性
考虑 $k$ 倍矩阵 $kB = kA - I_n$。由于 $kA$ 是整数矩阵，所以 $kB$ 也是整数矩阵。因此 $\det(kB)$ 是整数。另一方面，$\det(kB) = k^n \det(B) = k^n d$，所以 $k^n d$ 是整数。
公式：\det(kB) = k^n d \in \mathbb{Z}
提示：注意行列式的性质：$\det(cM) = c^n \det(M)$。
步骤 3/5
目标：反证法假设d=0
假设 $d = 0$，则 $\det(B) = 0$，即 $B$ 是奇异矩阵。那么存在非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 使得 $Bx = 0$，即 $Ax = \frac{1}{k} x$。因此 $\frac{1}{k}$ 是 $A$ 的一个特征值。
公式：Ax = \frac{1}{k} x
提示：特征值定义：存在非零向量 $x$ 使得 $Ax = \lambda x$。
步骤 4/5
目标：利用代数整数性质
由于 $A$ 是整数矩阵，其特征多项式 $f(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 是首一整数系数多项式，所以 $A$ 的特征值都是代数整数。因此 $\frac{1}{k}$ 必须是代数整数。
公式：f(\lambda) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + c_0, \quad c_i \in \mathbb{Z}
提示：代数整数是某个首一整系数多项式的根。
步骤 5/5
目标：导出矛盾
但 $\frac{1}{k}$ 是有理数，有理代数整数必为整数。因此 $\frac{1}{k} \in \mathbb{Z}$，即 $k \mid 1$，所以 $k = 1$。这与已知条件 $k \geq 2$ 矛盾。故假设不成立，$d \neq 0$。
公式：\frac{1}{k} \in \mathbb{Z} \Rightarrow k=1
提示：有理数 $p/q$（既约）是代数整数当且仅当 $q=1$。
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