北京科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
一．计算题（15分）
计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle D_{n}$ 的值，其中
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
1+x_{1} & 1+x_{1}^{2} & \cdots & 1+x_{1}^{n} \\
1+x_{2} & 1+x_{2}^{2} & \cdots & 1+x_{2}^{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1+x_{n} & 1+x_{n}^{2} & \cdots & 1+x_{n}^{n}
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：拆分行列式
将行列式 $D_n$ 的每一列拆分为两个列向量的和：第 $j$ 列的元素为 $1+x_i^j$，可拆分为 $(1,1,\ldots,1)^T$ 与 $(x_i^j)$ 的和。根据行列式的线性性质，$D_n$ 等于两个行列式的和：
$$D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}.$$
公式：行列式的线性性质：若一行（列）为两数之和，则可拆分为两个行列式之和。
提示：注意拆分时每一列都要拆，且其他列保持不变。
步骤 2/6
目标：计算第一个行列式
第一个行列式的所有行都相同（全为1），因此其值为0。因为行列式若有两行相同，则值为0。
公式：行列式性质：若有两行（列）相同，则行列式值为0。
提示：不要忘记这个性质，避免误以为该行列式非零。
步骤 3/6
目标：提取公因子
第二个行列式的第 $i$ 行有公因子 $x_i$，将其提出，得到：
$$\begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} = \left(\prod_{i=1}^n x_i\right) \begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}.$$
公式：行列式提取公因子：一行（列）的公因子可提到行列式外面。
提示：注意每行提取一个 $x_i$，乘积为 $\prod x_i$，不要漏掉。
步骤 4/6
目标：识别范德蒙德行列式
剩下的行列式是范德蒙德行列式，其形式为：
$$\begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix},$$ 其中 $a_i = x_i$。
公式：范德蒙德行列式的定义。
提示：确保指数从0到n-1，且第一列全为1。
步骤 5/6
目标：计算范德蒙德行列式
范德蒙德行列式的值为所有 $x_j - x_i$ 的乘积，其中 $1 \le i < j \le n$：
$$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).$$
公式：范德蒙德行列式公式：$\prod_{1\le i
提示：注意乘积顺序是 $j>i$，且差为 $x_j - x_i$，不要写反。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将上述结果代入，得到 $D_n$ 的表达式：
$$D_n = 0 + \left(\prod_{i=1}^n x_i\right) \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) = \left(\prod_{i=1}^n x_i\right) \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).$$
提示：最终结果中 $\prod x_i$ 与范德蒙德乘积相乘，注意不要遗漏。
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