北京科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．简答题（ 15 分）
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且存在 $n$ 阶实矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B+B^{\mathrm{T}} A$ 为正定矩阵，判断矩阵 $A$ 是否可逆，并给出理由。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与目标
已知 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，存在 $n$ 阶实矩阵 $B$ 使得 $AB + B^T A$ 为正定矩阵。需要判断 $A$ 是否可逆并给出理由。
提示：注意正定矩阵的定义：对任意非零向量 $x$，有 $x^T (AB + B^T A) x > 0$。
步骤 2/7
目标：假设 $A$ 不可逆，引出矛盾
采用反证法。假设 $A$ 不可逆，则存在非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 使得 $Ax = 0$。
公式：存在 $x \neq 0$ 满足 $Ax = 0$
提示：不可逆意味着齐次线性方程组有非零解，即 $\ker(A) \neq \{0\}$。
步骤 3/7
目标：利用正定性得到不等式
由于 $AB + B^T A$ 正定，对于该非零向量 $x$，有 $x^T (AB + B^T A) x > 0$。
公式：$x^T (AB + B^T A) x > 0$
提示：正定性要求对所有非零向量成立，包括我们找到的 $x$。
步骤 4/7
目标：计算二次型表达式
计算 $x^T (AB + B^T A) x = x^T A B x + x^T B^T A x$。
公式：$x^T (AB + B^T A) x = x^T A B x + x^T B^T A x$
提示：注意矩阵乘法分配律。
步骤 5/7
目标：利用 $Ax=0$ 化简
由于 $Ax = 0$，有 $x^T A = (A x)^T = 0^T$，所以 $x^T A B x = 0^T B x = 0$；同时 $x^T B^T A x = (B x)^T (A x) = (B x)^T 0 = 0$。因此整个表达式为 $0$。
公式：$x^T A B x = 0$，$x^T B^T A x = 0$
提示：注意 $x^T A$ 是行向量，$Ax$ 是列向量，两者转置关系。
步骤 6/7
目标：得到矛盾
得到 $0 = x^T (AB + B^T A) x > 0$，矛盾。因此假设不成立，$A$ 可逆。
提示：矛盾表明 $A$ 不可逆的假设错误。
步骤 7/7
目标：总结结论
所以矩阵 $A$ 可逆。
提示：结论唯一，无需额外条件。
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