北京科技大学 2026年高等代数第0题

观察到矩阵 $A$ 是分块对角矩阵：$A = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix}$，其中 $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$。因此 $A^{2026} = \begin{pmatrix} B^{2026} & 0 \\ 0 & C^{2026} \end{pmatrix}$。

计算 $B^2 = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 8 & 16 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = 4B$。归纳可得 $B^n = 4^{n-1} B$ 对 $n \ge 1$ 成立。因此 $B^{2026} = 4^{2025} B = 4^{2025} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。

由于 $4^{2025} = (2^2)^{2025} = 2^{4050}$，所以 $B^{2026} = \begin{pmatrix} 2^{4050} \cdot 2 & 2^{4050} \cdot 4 \\ 2^{4050} \cdot 1 & 2^{4050} \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{4051} & 2^{4052} \\ 2^{4050} & 2^{4051} \end{pmatrix}$。

将 $C$ 写为 $C = 2I + N$，其中 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$。易验证 $N^2 = 0$，且 $2I$ 与 $N$ 可交换。

由二项式定理：$C^n = (2I + N)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2I)^{n-k} N^k$。由于 $k \ge 2$ 时 $N^k = 0$，所以 $C^n = 2^n I + n 2^{n-1} N$。代入 $n=2026$ 得 $C^{2026} = 2^{2026} I + 2026 \cdot 2^{2025} N$。

代入 $N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$，得 $C^{2026} = \begin{pmatrix} 2^{2026} & 0 \\ 2026 \cdot 2^{2025} \cdot 4 & 2^{2026} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{2026} & 0 \\ 2026 \cdot 2^{2027} & 2^{2026} \end{pmatrix}$。

将 $B^{2026}$ 和 $C^{2026}$ 组合成分块对角矩阵：$A^{2026} = \begin{pmatrix} 2^{4051} & 2^{4052} & 0 & 0 \\ 2^{4050} & 2^{4051} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{2026} & 0 \\ 0 & 0 & 2026 \cdot 2^{2027} & 2^{2026} \end{pmatrix}$。