北京科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．证明题（ 15 分）
设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 1$ ，记矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，若 $\displaystyle A^{2}=O, O$ 为零矩阵．
（1）证明：$\displaystyle r(A) \leq \frac{n}{2}$ ．
（2）若已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 有解，证明：该方程组的线性无关的解向量的最大个数为 $\displaystyle n-r+1$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用幂零矩阵性质分析Jordan标准形
由 $A^2=O$ 知 $A$ 是幂零矩阵，且零化多项式为 $x^2$，故 $A$ 的 Jordan 标准形中 Jordan 块阶数不超过 2。设 $A$ 的秩为 $r$，则 $A$ 的 Jordan 标准形中阶数为 2 的 Jordan 块个数为 $r$（因为每个 2 阶 Jordan 块秩为 1，且 $A$ 的秩等于这些 Jordan 块秩之和），而阶数为 1 的 Jordan 块（即零块）个数为 $n-2r$。
提示：注意每个2阶Jordan块秩为1，且所有Jordan块秩之和等于矩阵的秩。
步骤 2/5
目标：推导秩的上界
由于 Jordan 块个数非负，故 $n-2r \geq 0$，即 $r \leq \frac{n}{2}$。
公式：$n-2r \geq 0 \Rightarrow r \leq \frac{n}{2}$
提示：确保理解Jordan块个数非负的含义。
步骤 3/5
目标：分析非齐次线性方程组的解结构
设非齐次线性方程组 $AX=b$ 有解，则其解的结构为 $X = X_0 + \eta$，其中 $X_0$ 是一个特解，$\eta$ 是齐次方程组 $AX=0$ 的通解。齐次方程组的基础解系含有 $n-r$ 个线性无关的解向量，设为 $\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_{n-r}$。
公式：$AX=b$ 的解集：$X = X_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i \eta_i$
提示：注意齐次解向量本身不是非齐次解，但非齐次解可由特解加上齐次解的线性组合得到。
步骤 4/5
目标：构造线性无关的非齐次解向量组
考虑向量组 $X_0, X_0+\eta_1, \dots, X_0+\eta_{n-r}$，这些向量都是非齐次方程组的解。证明它们线性无关：设 $\alpha_0 X_0 + \sum_{i=1}^{n-r} \alpha_i (X_0+\eta_i)=0$，则 $(\alpha_0+\sum \alpha_i)X_0 + \sum \alpha_i \eta_i =0$。左乘 $A$ 得 $(\alpha_0+\sum \alpha_i)b=0$，由于 $b \neq 0$（非齐次），故 $\alpha_0+\sum \alpha_i=0$。代入得 $\sum \alpha_i \eta_i =0$，由 $\eta_i$ 线性无关得 $\alpha_i=0$，进而 $\alpha_0=0$。因此这 $n-r+1$ 个解向量线性无关。
提示：注意左乘A时利用了$AX_0=b$和$A\eta_i=0$；若b=0则方程组退化为齐次，此时结论不同。
步骤 5/5
目标：证明最大个数为n-r+1
任何 $n-r+2$ 个解向量必然线性相关，因为解空间是 $n-r+1$ 维仿射空间（齐次解空间维数为 $n-r$，加上特解张成 $n-r+1$ 维仿射空间）。因此，线性无关的解向量的最大个数为 $n-r+1$。
提示：仿射空间的维数等于齐次解空间维数加1。
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