北京科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．简单题（ 20 分）
设 $V$ 为 $n$ 阶实方阵全体在矩阵的加法和数乘运算下构成的实数域上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V$ ，都有 $\displaystyle \sigma(A)=2 A^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值．
（2）求 $\displaystyle \sigma$ 的属于每一个特征值的特征子空间的维数和一组基．
（3）证明：$V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立特征方程
设 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的特征值，则存在非零矩阵 $A$ 使得 $\sigma(A)=\lambda A$，即 $2A^{\mathrm{T}}=\lambda A$。
公式：$\sigma(A)=2A^{\mathrm{T}}$
提示：注意特征向量 $A$ 必须是非零矩阵。
步骤 2/7
目标：推导特征值方程
对等式 $2A^{\mathrm{T}}=\lambda A$ 两边取转置，得 $2A=\lambda A^{\mathrm{T}}$。将 $A^{\mathrm{T}}$ 代入原式：由 $2A^{\mathrm{T}}=\lambda A$ 得 $A^{\mathrm{T}}=\frac{\lambda}{2}A$，代入 $2A=\lambda A^{\mathrm{T}}$ 得 $2A=\lambda \cdot \frac{\lambda}{2}A = \frac{\lambda^2}{2}A$，即 $4A=\lambda^2 A$。由于 $A\neq 0$，故 $\lambda^2=4$，解得 $\lambda=\pm 2$。
公式：$4A=\lambda^2 A$
提示：注意代入时不要混淆 $A$ 和 $A^{\mathrm{T}}$。
步骤 3/7
目标：求特征值2的特征子空间
当 $\lambda=2$ 时，由 $2A^{\mathrm{T}}=2A$ 得 $A^{\mathrm{T}}=A$，即 $A$ 为对称矩阵。所有 $n$ 阶实对称矩阵构成 $V$ 的子空间，记为 $V_2$。
公式：$A^{\mathrm{T}}=A$
提示：对称矩阵的定义是转置等于自身。
步骤 4/7
目标：求特征值2的特征子空间的维数和基
对称矩阵的维数为 $\frac{n(n+1)}{2}$。一组标准基为：$E_{ii}$（$i=1,\dots,n$）和 $E_{ij}+E_{ji}$（$1\le i
公式：维数 $\dim V_2 = \frac{n(n+1)}{2}$
提示：注意基的个数等于维数，不要遗漏。
步骤 5/7
目标：求特征值-2的特征子空间
当 $\lambda=-2$ 时，由 $2A^{\mathrm{T}}=-2A$ 得 $A^{\mathrm{T}}=-A$，即 $A$ 为反对称矩阵。所有 $n$ 阶实反对称矩阵构成 $V$ 的子空间，记为 $V_{-2}$。
公式：$A^{\mathrm{T}}=-A$
提示：反对称矩阵的对角线元素必须为0。
步骤 6/7
目标：求特征值-2的特征子空间的维数和基
反对称矩阵的维数为 $\frac{n(n-1)}{2}$。一组标准基为：$E_{ij}-E_{ji}$（$1\le i
公式：维数 $\dim V_{-2} = \frac{n(n-1)}{2}$
提示：注意基中每个矩阵的 $i
步骤 7/7
目标：证明V是特征子空间的直和
任意实方阵 $A$ 可唯一分解为对称部分 $\frac{A+A^{\mathrm{T}}}{2}$ 与反对称部分 $\frac{A-A^{\mathrm{T}}}{2}$ 之和。对称部分属于 $V_2$，反对称部分属于 $V_{-2}$，且 $V_2 \cap V_{-2} = \{0\}$（因为若 $A$ 既对称又反对称，则 $A=0$）。因此 $V = V_2 \oplus V_{-2}$。
公式：$A = \frac{A+A^{\mathrm{T}}}{2} + \frac{A-A^{\mathrm{T}}}{2}$
提示：直和需要证明分解存在且唯一，以及子空间交为零。
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