北京科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．证明题（15分）
设 $n$ 为正整数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 是 $n$ 个多项式，若
$$
\left(x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1\right) \mid\left(f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x^{n-1} f_{n}\left(x^{n+1}\right)\right) .
$$
证明：$\displaystyle (x-1)^{n} \mid f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{n}(x)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入单位根并转化条件
设 $\omega = e^{2\pi i/(n+1)}$ 是 $n+1$ 次本原单位根，则 $\omega^k$（$k=1,2,\dots,n$）是多项式 $x^n + x^{n-1} + \cdots + x + 1 = 0$ 的 $n$ 个根。由整除条件，对每个 $k=1,\dots,n$，有
$$
\sum_{j=0}^{n-1} \omega^{kj} f_{j+1}(\omega^{k(n+1)}) = 0.
$$
由于 $\omega^{k(n+1)} = (\omega^{n+1})^k = 1$，上式化为
$$
\sum_{j=0}^{n-1} \omega^{kj} f_{j+1}(1) = 0.
$$
公式：$\omega = e^{2\pi i/(n+1)}$，$\omega^{k(n+1)}=1$
提示：注意 $\omega^{n+1}=1$，所以 $\omega^{k(n+1)}=1$，代入后 $f_{j+1}$ 的自变量变为1。
步骤 2/5
目标：建立齐次线性方程组
将 $k=1,\dots,n$ 的 $n$ 个方程视为关于未知量 $f_1(1), f_2(1), \dots, f_n(1)$ 的齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
\omega^{1\cdot0} f_1(1) + \omega^{1\cdot1} f_2(1) + \cdots + \omega^{1\cdot (n-1)} f_n(1) = 0 \\
\omega^{2\cdot0} f_1(1) + \omega^{2\cdot1} f_2(1) + \cdots + \omega^{2\cdot (n-1)} f_n(1) = 0 \\
\vdots \\
\omega^{n\cdot0} f_1(1) + \omega^{n\cdot1} f_2(1) + \cdots + \omega^{n\cdot (n-1)} f_n(1) = 0
\end{cases}
$$
系数矩阵为 $A = (\omega^{kj})_{k=1,\dots,n;\,j=0,\dots,n-1}$。
提示：注意下标：$f_{j+1}$ 对应 $j$ 从0到 $n-1$，共 $n$ 个未知量。
步骤 3/5
目标：计算系数矩阵的行列式
系数矩阵 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，其第 $k$ 行第 $j+1$ 列元素为 $\omega^{k(j-1)}$（$j=1,\dots,n$）。这是一个 Vandermonde 矩阵，其行列式为
$$
\det(A) = \prod_{1 \le i < j \le n} (\omega^j - \omega^i) \neq 0,
$$
因为 $\omega^i \neq \omega^j$ 对 $i \neq j$。因此系数矩阵可逆，齐次线性方程组只有零解。
公式：Vandermonde 行列式：$\det(\alpha_i^{j-1}) = \prod_{1\le i
提示：注意 $\omega$ 是 $n+1$ 次单位根，$\omega^1,\dots,\omega^n$ 互不相同，所以行列式非零。
步骤 4/5
目标：得到所有 $f_i(1)=0$
由齐次线性方程组只有零解，得 $f_1(1)=f_2(1)=\cdots=f_n(1)=0$。因此对每个 $i=1,\dots,n$，$x-1$ 整除 $f_i(x)$，即 $f_i(x) = (x-1) g_i(x)$，其中 $g_i(x)$ 是多项式。
提示：注意 $f_i(1)=0$ 意味着 $x=1$ 是 $f_i(x)$ 的根，所以 $(x-1) \mid f_i(x)$。
步骤 5/5
目标：推出乘积被 $(x-1)^n$ 整除
由于每个 $f_i(x)$ 都被 $x-1$ 整除，故乘积 $f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x)$ 被 $(x-1)^n$ 整除。即
$$
(x-1)^n \mid f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x).
$$
证毕。
提示：注意整除的传递性：若 $(x-1) \mid f_i$ 对每个 $i$，则 $(x-1)^n \mid \prod f_i$。
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