北京科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．计算题（15分）
设 $V$ 为欧氏空间，$\displaystyle v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ 是 $V$ 的一组标准正交基，令向量
$$
\alpha=v_{1}+v_{2}, \beta=v_{1}+v_{3}, \gamma=2 v_{1}+v_{2}+2 v_{3}+v_{4} .
$$
子空间 $\displaystyle W=L(\alpha, \beta), W^{\perp}$ 为 $W$ 的正交补．求 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}$ ，使得 $\displaystyle \gamma=\gamma_{1}+\gamma_{2}$ ，且 $\displaystyle \gamma_{1} \in W, \gamma_{2} \in W^{\perp}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确内积与标准正交基
由于 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 是标准正交基，内积满足 $(v_i, v_j) = \delta_{ij}$，即不同向量内积为0，相同向量内积为1。
公式：$(v_i, v_j) = \delta_{ij}$
提示：注意标准正交基的性质：正交且单位长度。
步骤 2/5
目标：对 $\alpha, \beta$ 进行施密特正交化，得到 $W$ 的标准正交基
令 $u_1 = \alpha = v_1 + v_2$，则 $\|u_1\| = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$，所以 $e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1+v_2)$。
计算 $\beta$ 在 $e_1$ 上的投影：$(\beta, e_1) = (v_1+v_3, \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1+v_2)) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
令 $u_2 = \beta - (\beta, e_1)e_1 = (v_1+v_3) - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1+v_2) = \frac{1}{2}v_1 - \frac{1}{2}v_2 + v_3$。
计算 $\|u_2\|^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 = \frac{3}{2}$，所以 $\|u_2\| = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$。于是 $e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{2}{\sqrt{6}} \left(\frac{1}{2}v_1 - \frac{1}{2}v_2 + v_3\right) = \frac{1}{\sqrt{6}}v_1 - \frac{1}{\sqrt{6}}v_2 + \frac{2}{\sqrt{6}}v_3$。
因此 $W$ 的一组标准正交基为 $e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1+v_2)$，$e_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(v_1 - v_2 + 2v_3)$。
公式：施密特正交化：$e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|}$，$u_2 = \beta - (\beta, e_1)e_1$，$e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|}$
提示：施密特正交化时，注意投影公式的正确使用，以及归一化时不要忘记除以模长。
步骤 3/5
目标：计算 $\gamma$ 在 $W$ 上的投影 $\gamma_1$
计算 $\gamma$ 与 $e_1, e_2$ 的内积：
$(\gamma, e_1) = (2v_1+v_2+2v_3+v_4, \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1+v_2)) = \frac{1}{\sqrt{2}}(2+1) = \frac{3}{\sqrt{2}}$。
$(\gamma, e_2) = (2v_1+v_2+2v_3+v_4, \frac{1}{\sqrt{6}}(v_1 - v_2 + 2v_3)) = \frac{1}{\sqrt{6}}(2 - 1 + 4) = \frac{5}{\sqrt{6}}$。
则 $\gamma_1 = (\gamma, e_1)e_1 + (\gamma, e_2)e_2 = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1+v_2) + \frac{5}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}(v_1 - v_2 + 2v_3) = \frac{3}{2}(v_1+v_2) + \frac{5}{6}(v_1 - v_2 + 2v_3)$。
化简：$\gamma_1 = \left(\frac{3}{2}+\frac{5}{6}\right)v_1 + \left(\frac{3}{2}-\frac{5}{6}\right)v_2 + \left(\frac{5}{6}\cdot 2\right)v_3 = \frac{14}{6}v_1 + \frac{4}{6}v_2 + \frac{10}{6}v_3 = \frac{7}{3}v_1 + \frac{2}{3}v_2 + \frac{5}{3}v_3$。
公式：投影公式：$\gamma_1 = \sum_{i=1}^2 (\gamma, e_i) e_i$
提示：内积计算时注意标准正交基的性质，只保留相同基的内积为1。
步骤 4/5
目标：计算 $\gamma_2 = \gamma - \gamma_1$
$\gamma_2 = \gamma - \gamma_1 = (2v_1+v_2+2v_3+v_4) - \left(\frac{7}{3}v_1+\frac{2}{3}v_2+\frac{5}{3}v_3\right) = \left(2-\frac{7}{3}\right)v_1 + \left(1-\frac{2}{3}\right)v_2 + \left(2-\frac{5}{3}\right)v_3 + v_4 = -\frac{1}{3}v_1 + \frac{1}{3}v_2 + \frac{1}{3}v_3 + v_4$。
公式：$\gamma_2 = \gamma - \gamma_1$
提示：注意系数相减时通分，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：验证 $\gamma_1 \in W$ 且 $\gamma_2 \in W^{\perp}$
由于 $\gamma_1$ 是 $e_1, e_2$ 的线性组合，显然 $\gamma_1 \in W$。
验证 $\gamma_2$ 与 $e_1, e_2$ 正交：
$(\gamma_2, e_1) = \left(-\frac{1}{3}v_1 + \frac{1}{3}v_2 + \frac{1}{3}v_3 + v_4, \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1+v_2)\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right) = 0$。
$(\gamma_2, e_2) = \left(-\frac{1}{3}v_1 + \frac{1}{3}v_2 + \frac{1}{3}v_3 + v_4, \frac{1}{\sqrt{6}}(v_1 - v_2 + 2v_3)\right) = \frac{1}{\sqrt{6}}\left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) = 0$。
因此 $\gamma_2 \in W^{\perp}$。
公式：正交补定义：$W^{\perp} = \{x \in V \mid (x, w)=0, \forall w \in W\}$
提示：验证正交性时，只需验证与基向量正交即可。
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