北京科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．证明题（20分）
设 $V$ 是实数域的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \left\{\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right\}$ 是 $V$ 的一组基，令 $\displaystyle \xi_{n+1}=-\xi_{1}-\xi_{2}-\cdots-\xi_{n}$ ．证明：
（1）对 $\displaystyle i=1,2, \cdots, n+1,\left\{\xi_{1}, \cdots, \xi_{i-1}, \xi_{i+1}, \cdots, \xi_{n+1}\right\}$ 都构成 $V$ 的基．
（2）对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，在（1）中的 $\displaystyle n+1$ 组基中，存在一组基使得 $\displaystyle \alpha$ 在此基下的坐标分量均为非负．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解基的定义与已知条件
已知 $\{\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n\}$ 是 $V$ 的一组基，且 $\xi_{n+1} = -\xi_1-\xi_2-\dots-\xi_n$。这意味着 $\xi_{n+1}$ 可由 $\xi_1,\dots,\xi_n$ 线性表示，且 $\xi_1,\dots,\xi_n$ 线性无关。
公式：$\xi_{n+1} = -\sum_{j=1}^n \xi_j$
提示：注意 $\xi_{n+1}$ 不是独立的，它与前 $n$ 个向量线性相关。
步骤 2/6
目标：证明第一问：对 $i=1,\dots,n$，去掉 $\xi_i$ 后的向量组是基
考虑 $i \leq n$，向量组 $\{\xi_1,\dots,\xi_{i-1},\xi_{i+1},\dots,\xi_{n+1}\}$ 共有 $n$ 个向量。由于 $\xi_{n+1} = -\sum_{j=1}^n \xi_j$，可得 $\xi_i = -\xi_{n+1} - \sum_{j\neq i, j\leq n} \xi_j$，因此 $\xi_i$ 可由该组线性表示。又因为 $\xi_1,\dots,\xi_n$ 生成 $V$，所以该组也生成 $V$。$n$ 个向量生成 $n$ 维空间，故线性无关，构成基。
公式：$\xi_i = -\xi_{n+1} - \sum_{j\neq i, j\leq n} \xi_j$
提示：注意验证生成性：原基中每个向量都能被新组表示。
步骤 3/6
目标：证明第一问：$i=n+1$ 的情况
当 $i=n+1$ 时，向量组为 $\{\xi_1,\dots,\xi_n\}$，这正是已知的基，因此显然构成基。
提示：无需额外推导。
步骤 4/6
目标：推导第二问中坐标变换公式
对任意 $\alpha \in V$，设 $\alpha = \sum_{j=1}^n a_j \xi_j$。对于 $i \leq n$，在基 $\{\xi_1,\dots,\xi_{i-1},\xi_{i+1},\dots,\xi_{n+1}\}$ 下，设 $\alpha = \sum_{j\neq i, j\leq n} x_j \xi_j + x_{n+1} \xi_{n+1}$。代入 $\xi_{n+1}$ 得 $\alpha = \sum_{j\neq i} x_j \xi_j - x_{n+1} \sum_{j=1}^n \xi_j = \sum_{j\neq i} (x_j - x_{n+1}) \xi_j - x_{n+1} \xi_i$。与 $\alpha = \sum_{j=1}^n a_j \xi_j$ 比较系数，得 $a_j = x_j - x_{n+1}$（$j\neq i$），$a_i = -x_{n+1}$。解得 $x_{n+1} = -a_i$，$x_j = a_j + a_i$（$j\neq i$）。因此坐标向量为 $(a_1+a_i,\dots,a_{i-1}+a_i,a_{i+1}+a_i,\dots,a_n+a_i,-a_i)$。当 $i=n+1$ 时，坐标就是 $(a_1,\dots,a_n)$。
公式：$x_j = a_j + a_i$（$j\neq i$），$x_{n+1} = -a_i$
提示：注意 $i$ 的范围，以及 $x_{n+1}$ 对应 $\xi_{n+1}$ 的系数。
步骤 5/6
目标：分析坐标非负的条件
对于 $\alpha$，若所有 $a_j \geq 0$，则取 $i=n+1$，坐标 $(a_1,\dots,a_n)$ 非负。否则，存在某个 $a_i < 0$。取 $i$ 使得 $a_i$ 最小（即最负），则对任意 $j$，$a_j + a_i \geq 0$，且 $-a_i \geq 0$，因此坐标分量均非负。
提示：注意 $a_i$ 最小意味着 $a_i \leq a_j$ 对所有 $j$ 成立，从而 $a_j + a_i \geq 0$。
步骤 6/6
目标：总结第二问结论
对任意 $\alpha \in V$，若所有 $a_j \geq 0$，则取基 $\{\xi_1,\dots,\xi_n\}$；否则取 $i$ 使得 $a_i$ 最小，则基 $\{\xi_1,\dots,\xi_{i-1},\xi_{i+1},\dots,\xi_{n+1}\}$ 下坐标非负。因此存在一组基使坐标分量均为非负。
提示：注意 $i$ 的选取依赖于 $\alpha$。
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