华东师范大学 2014年高等代数第1题
📝 题目
1．（10 分）计算行列式 $\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccc}a^{2}+m & b a & c a & d a \\ a b & b^{2}+m & c b & d b \\ a c & b c & c^{2}+m & d c \\ a d & b d & c d & d^{2}+m\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别矩阵结构
将行列式写成矩阵形式：
\[ D = \det\left( \begin{pmatrix} a^2+m & ab & ac & ad \\ ab & b^2+m & bc & bd \\ ac & bc & c^2+m & cd \\ ad & bd & cd & d^2+m \end{pmatrix} \right). \]
观察矩阵，发现它可以分解为一个秩1矩阵加上一个数量矩阵：
\[ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ac & ad \\ ab & b^2 & bc & bd \\ ac & bc & c^2 & cd \\ ad & bd & cd & d^2 \end{pmatrix} + mI = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c & d \end{pmatrix} + mI. \]
即矩阵为 \( \mathbf{v} \mathbf{v}^T + mI \)，其中 \( \mathbf{v} = (a,b,c,d)^T \)。
提示：注意矩阵分解时，外积 \( \mathbf{v} \mathbf{v}^T \) 的每个元素是 \( v_i v_j \)，与题目中的元素对应。
步骤 2/4
目标：应用行列式公式
对于形如 \( \mathbf{v} \mathbf{v}^T + mI \) 的矩阵，其行列式有公式：
\[ \det(\mathbf{v} \mathbf{v}^T + mI) = m^{n-1}(m + \mathbf{v}^T \mathbf{v}), \]
其中 \( n \) 是矩阵的阶数。这里 \( n = 4 \)，\( \mathbf{v}^T \mathbf{v} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \)。
公式：\det(\mathbf{v} \mathbf{v}^T + mI) = m^{n-1}(m + \mathbf{v}^T \mathbf{v})
提示：该公式成立的条件是 \( m \neq 0 \)，但最终结果对 \( m=0 \) 也成立（此时行列式为0）。
步骤 3/4
目标：代入参数计算
将 \( n=4 \) 和 \( \mathbf{v}^T \mathbf{v} = a^2+b^2+c^2+d^2 \) 代入公式：
\[ D = m^{4-1} (m + a^2+b^2+c^2+d^2) = m^3 (m + a^2+b^2+c^2+d^2). \]
提示：注意指数：\( n-1 = 3 \)，不要误写为 \( m^4 \)。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
因此，行列式的值为：
\[ \boxed{D = m^{3}(m + a^2+b^2+c^2+d^2)} \]
提示：最终结果应化简，不要保留未合并的项。
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