华东师范大学 2017年高等代数第4题

假设存在多项式 $f(x) \in \mathbb{K}[x]$ 使得 $f(x)^2 = x^2 + x^3$。设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$，其中 $a_n \neq 0$。则 $f(x)^2$ 的最高次项为 $a_n^2 x^{2n}$，而 $x^2 + x^3$ 的最高次项为 $x^3$，因此 $2n = 3$，但 $3$ 不是偶数，矛盾。故 $x^2 + x^3$ 不能写成另一多项式的平方。

假设 $y^2 - x^2 - x^3 = g(x, y) h(x, y)$，其中 $g, h \in \mathbb{K}[x, y]$ 是非常数多项式。将 $y$ 视为变量，$x$ 视为参数。考虑关于 $y$ 的多项式 $y^2 - (x^2 + x^3)$。它在 $\mathbb{K}(x)[y]$ 中，其中 $\mathbb{K}(x)$ 是 $\mathbb{K}$ 上关于 $x$ 的有理函数域。

由于 $x^2 + x^3 = x^2(1+x)$，而 $1+x$ 不是 $\mathbb{K}(x)$ 中的平方（因为 $1+x$ 不是完全平方），所以 $y^2 - (x^2 + x^3)$ 在 $\mathbb{K}(x)[y]$ 中不可约（二次多项式无根则不可约）。因此，若在 $\mathbb{K}[x, y]$ 中有分解，则必有一个因子是 $y$ 的一次式，另一个是 $y$ 的一次式。

设 $g = a(x) y + b(x)$，$h = c(x) y + d(x)$，其中 $a, b, c, d \in \mathbb{K}[x]$，且 $a, c$ 不全为零。则 $(a y + b)(c y + d) = ac y^2 + (ad + bc) y + bd = y^2 - x^2 - x^3$。比较系数得：$ac = 1$，$ad + bc = 0$，$bd = -x^2 - x^3$。

由 $ac = 1$ 知 $a, c \in \mathbb{K}^*$（非零常数）。于是 $ad + bc = a d + b c = 0$ 可化为 $d = -\frac{b c}{a}$。代入 $bd = -x^2 - x^3$ 得 $b \cdot \left(-\frac{b c}{a}\right) = -\frac{b^2 c}{a} = -x^2 - x^3$，即 $b^2 = \frac{a}{c} (x^2 + x^3)$。由于 $a/c \in \mathbb{K}^*$，故 $b^2$ 是 $x^2 + x^3$ 的常数倍。但 $x^2 + x^3 = x^2(1+x)$ 不是完全平方（因为 $1+x$ 不是平方），矛盾。因此 $y^2 - x^2 - x^3$ 在 $\mathbb{K}[x, y]$ 中不可约。