华东师范大学 2017年高等代数第5题
📝 题目
5．（13 分）设 $\displaystyle A, B$ 是同阶方阵，若 $A$ 可逆，证明 $\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$ 相似。问当 $A$ 不可逆时，结论是否成立？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解相似的定义
两个方阵 $X$ 和 $Y$ 相似，如果存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}XP = Y$。
公式：P^{-1}XP = Y
提示：注意相似变换矩阵 $P$ 必须是可逆的。
步骤 2/8
目标：构造相似变换矩阵
由于 $A$ 可逆，取 $P = A$，则 $P$ 可逆。计算 $P^{-1}(AB)P = A^{-1}(AB)A$。
公式：P^{-1}(AB)P = A^{-1}(AB)A
提示：注意 $P$ 的选择：这里直接取 $A$ 本身作为变换矩阵。
步骤 3/8
目标：利用矩阵乘法结合律化简
利用结合律：$A^{-1}(AB)A = (A^{-1}A)(BA) = I \cdot BA = BA$。
公式：A^{-1}(AB)A = (A^{-1}A)(BA) = BA
提示：注意 $A^{-1}A = I$，但 $AA^{-1}$ 也等于 $I$，这里顺序重要。
步骤 4/8
目标：得出结论
因此存在可逆矩阵 $P = A$ 使得 $P^{-1}(AB)P = BA$，故 $AB$ 与 $BA$ 相似。
提示：证明完成，注意 $A$ 可逆是前提。
步骤 5/8
目标：考虑 $A$ 不可逆的情况
当 $A$ 不可逆时，结论不一定成立。需要构造反例。
提示：不可逆时，不能直接使用上述构造，需寻找反例。
步骤 6/8
目标：构造反例
取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。计算 $AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意 $A$ 是奇异矩阵（秩为1），$B$ 是幂零矩阵。
步骤 7/8
目标：验证反例不相似
$AB$ 的秩为1，$BA$ 的秩为0。相似矩阵有相同的秩，故 $AB$ 与 $BA$ 不相似。
公式：\text{rank}(AB) = 1, \quad \text{rank}(BA) = 0
提示：相似矩阵的秩、迹、特征值等均相同，这里秩不同即可。
步骤 8/8
目标：总结结论
当 $A$ 可逆时，$AB$ 与 $BA$ 相似；当 $A$ 不可逆时，结论一般不成立。
提示：注意结论的适用范围。
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