华东师范大学 2017年高等代数第9题
📝 题目
9．（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的非零多项式，$A$ 是 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ 阶方阵。
（1）证明：若 $\displaystyle g(A)$ 可逆，则
$$
f(A) g(A)^{*}=g(A)^{*} f(A)
$$
其中 $\displaystyle g(A)^{*}$ 为 $\displaystyle g(A)$ 的伴随矩阵。
（2）$\displaystyle g(A)$ 不可逆时，结论是否成立？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明可逆情形下的交换性
由于 $g(A)$ 可逆，则 $g(A)^* = \det(g(A)) \cdot (g(A))^{-1}$。因此，
$$f(A) g(A)^* = f(A) \cdot \det(g(A)) \cdot (g(A))^{-1} = \det(g(A)) \cdot f(A) (g(A))^{-1}.$$
另一方面，
$$g(A)^* f(A) = \det(g(A)) \cdot (g(A))^{-1} f(A).$$
因为 $f(A)$ 与 $g(A)$ 是 $A$ 的多项式，所以 $f(A)$ 与 $g(A)$ 可交换，即 $f(A) g(A) = g(A) f(A)$。从而 $f(A) (g(A))^{-1} = (g(A))^{-1} f(A)$。因此，
$$f(A) g(A)^* = \det(g(A)) \cdot (g(A))^{-1} f(A) = g(A)^* f(A).$$
公式：g(A)^* = \det(g(A)) \cdot (g(A))^{-1}
提示：注意可逆矩阵的伴随矩阵公式，以及多项式矩阵的可交换性。
步骤 2/6
目标：引入不可逆情形下的多项式方法
考虑多项式 $h(t) = \det(tI - g(A))$，它是 $t$ 的多项式。设 $h(t) = t^m + a_{m-1} t^{m-1} + \cdots + a_0$，其中 $a_0 = \det(-g(A)) = (-1)^n \det(g(A)) = 0$（因为 $g(A)$ 不可逆，行列式为0）。于是 $h(t) = t \cdot q(t)$，其中 $q(t) = t^{m-1} + a_{m-1} t^{m-2} + \cdots + a_1$。由 Cayley-Hamilton 定理，$h(g(A)) = 0$，即 $g(A) \cdot q(g(A)) = 0$。因此 $g(A) \cdot q(g(A)) = 0$，且 $q(g(A))$ 是 $A$ 的多项式。
公式：h(t) = \det(tI - g(A)), \quad h(g(A)) = 0
提示：注意 Cayley-Hamilton 定理的应用，以及特征多项式常数项与行列式的关系。
步骤 3/6
目标：利用伴随矩阵的性质
伴随矩阵满足 $g(A) \cdot g(A)^* = \det(g(A)) I = 0$，所以 $g(A) \cdot g(A)^* = 0$。
公式：g(A) \cdot g(A)^* = \det(g(A)) I
提示：伴随矩阵的基本性质：$A A^* = \det(A) I$。
步骤 4/6
目标：证明 $g(A)^*$ 是 $g(A)$ 的多项式
因为 $g(A)$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - g(A)) = \lambda^n + b_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + b_0$，则 $g(A)^* = (-1)^{n-1} (g(A)^{n-1} + b_{n-1} g(A)^{n-2} + \cdots + b_1 I)$。因此 $g(A)^*$ 是 $g(A)$ 的多项式。
公式：g(A)^* = (-1)^{n-1} (g(A)^{n-1} + b_{n-1} g(A)^{n-2} + \cdots + b_1 I)
提示：伴随矩阵的多项式表示依赖于特征多项式，注意符号和系数。
步骤 5/6
目标：利用多项式交换性得出结论
由于 $f(A)$ 与 $g(A)$ 可交换，且 $g(A)^*$ 是 $g(A)$ 的多项式，所以 $f(A)$ 与 $g(A)^*$ 可交换。因此 $f(A) g(A)^* = g(A)^* f(A)$。
提示：多项式矩阵的交换性：若 $f(A)$ 与 $g(A)$ 可交换，则 $f(A)$ 与 $g(A)$ 的任何多项式可交换。
步骤 6/6
目标：总结结论
（1）当 $g(A)$ 可逆时，$f(A) g(A)^* = g(A)^* f(A)$ 成立。
（2）当 $g(A)$ 不可逆时，结论仍然成立。
提示：注意不可逆情形下，虽然 $g(A)^*$ 可能为零矩阵，但等式仍然成立。
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