华东师范大学 2020年高等代数第3题
📝 题目
3．（15 分）已知 $\displaystyle n \geqslant 2, a, b \in \mathbb{C}$ ．求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a & a & a & a & a & \cdots \\ a & b & b & b & b & \cdots \\ a & b & a & a & a & \cdots \\ a & b & a & b & b & \cdots \\ a & b & a & b & a & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{array}\right)_{n \times n}$ 的行列式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察矩阵结构
矩阵 $A$ 的左上角 $2\times2$ 子块为 $\begin{pmatrix} a & a \\ a & b \end{pmatrix}$，之后每两行两列重复模式。具体地，$A_{ij} = \begin{cases} a, & \text{若 } i \text{ 为奇数或 } j \text{ 为奇数} \\ b, & \text{若 } i \text{ 和 } j \text{ 均为偶数} \end{cases}$。设 $n$ 为任意正整数，记 $m = \lfloor n/2 \rfloor$ 为偶数行（列）数，$k = \lceil n/2 \rceil$ 为奇数行（列）数。
提示：注意矩阵的规律：奇数行或奇数列元素为 $a$，只有行和列均为偶数时元素为 $b$。
步骤 2/6
目标：进行行列变换
对 $i=2,4,\dots$（偶数行），做 $R_i \leftarrow R_i - R_1$；对 $j=2,4,\dots$（偶数列），做 $C_j \leftarrow C_j - C_1$。变换后矩阵元素变为：
- 若 $i$ 为奇数，$j$ 为奇数：$A_{ij}=a$（不变）
- 若 $i$ 为奇数，$j$ 为偶数：$A_{ij}=0$
- 若 $i$ 为偶数，$j$ 为奇数：$A_{ij}=0$
- 若 $i$ 为偶数，$j$ 为偶数：$A_{ij}=b-a$
提示：注意列变换时，$C_1$ 中偶数行元素经过行变换后变为 $0$，因此减去 $C_1$ 不影响偶数行偶数列元素。
步骤 3/6
目标：得到分块矩阵
变换后的矩阵为分块形式：
$$\begin{pmatrix} \underbrace{\begin{matrix} a & \cdots & a \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a & \cdots & a \end{matrix}}_{k\times k} & \mathbf{0}_{k\times m} \\ \mathbf{0}_{m\times k} & \underbrace{\begin{matrix} b-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & b-a \end{matrix}}_{m\times m} \end{pmatrix}$$
提示：注意左上角块大小为 $k\times k$，右下角块大小为 $m\times m$。
步骤 4/6
目标：计算左上角块的行列式
左上角 $k\times k$ 块全为 $a$，其行列式为：
$$\det\begin{pmatrix} a & \cdots & a \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a & \cdots & a \end{pmatrix}_{k\times k} = \begin{cases} a, & k=1 \\ 0, & k>1 \end{cases}$$
公式：若矩阵各行相同，则行列式为 $0$（当行数 $>1$ 时）。
提示：当 $k\ge 2$ 时，矩阵各行成比例，行列式为 $0$。
步骤 5/6
目标：分情况讨论行列式
由于整个矩阵的行列式等于左上角块行列式乘以右下角块行列式（因为分块对角矩阵），右下角块行列式为 $(b-a)^m$。
- 若 $n$ 为奇数，则 $k = \frac{n+1}{2} \ge 2$（因为 $n\ge 2$），左上角行列式为 $0$，故 $\det A = 0$。
- 若 $n$ 为偶数，则 $k = m = n/2$。
- 当 $n=2$ 时，$k=1$，左上角行列式为 $a$，右下角行列式为 $b-a$，故 $\det A = a(b-a)$。
- 当 $n\ge 4$ 时，$k\ge 2$，左上角行列式为 $0$，故 $\det A = 0$。
公式：分块对角矩阵的行列式等于各块行列式的乘积。
提示：注意 $n=2$ 是特殊情况，此时左上角块为 $1\times1$，行列式非零。
步骤 6/6
目标：总结最终结果
综上，矩阵 $A$ 的行列式为：
$$\det A = \begin{cases} a(b-a), & n=2 \\ 0, & n\ge 3 \end{cases}$$
提示：验证 $n=2$ 时，原矩阵为 $\begin{pmatrix} a & a \\ a & b \end{pmatrix}$，行列式 $ab-a^2 = a(b-a)$，与结果一致。
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