华东师范大学 2020年高等代数第4题
📝 题目
4．（25 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{7}{4} & -\frac{3}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\ -\frac{3}{4} & \frac{7}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} \\ \frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{7}{2}\end{array}\right)$ ．
（1）．求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 是对角矩阵。
（2）．求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{7}{4} x_{1}^{2}+\frac{7}{4} x_{2}^{2}+\frac{7}{2} x_{3}^{2}-\frac{3}{2} x_{1} x_{2}-\frac{\sqrt{6}}{2} x_{2} x_{3}+\frac{\sqrt{6}}{2} x_{1} x_{3}$ 在单位球面 $\displaystyle S^{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in\right. \left.\mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}$ 上能取到的最大值，并求出能取到该最大值的所有 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出二次型矩阵并计算特征多项式
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的矩阵为 $A$，即 $f = x^T A x$。计算特征多项式：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - \frac{7}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} \\ \frac{3}{4} & \lambda - \frac{7}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\ -\frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & \lambda - \frac{7}{2} \end{vmatrix}$$
通过行变换或直接展开，化简得：
$$\det(\lambda I - A) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3)$$
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)$
提示：注意矩阵元素有分数，计算时小心符号和分母。
步骤 2/8
目标：求解特征值
由特征多项式 $\det(\lambda I - A) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$ 得特征值：
$$\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 2,\quad \lambda_3 = 3$$
提示：特征值互异，保证可正交对角化。
步骤 3/8
目标：求特征值1的特征向量
解 $(I - A)v = 0$：
$$\begin{pmatrix} -\frac{3}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} \\ \frac{3}{4} & -\frac{3}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\ -\frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{5}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$
化简得 $x_1 = x_2, x_3 = 0$，取 $v_1 = (1,1,0)^T$，单位化：
$$u_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)^T$$
公式：解齐次线性方程组 $(\lambda I - A)v=0$
提示：注意单位化时模长计算正确。
步骤 4/8
目标：求特征值2的特征向量
解 $(2I - A)v = 0$：
$$\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\ -\frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$
化简得 $x_1 = -x_2, x_3 = 0$，取 $v_2 = (1,-1,0)^T$，单位化：
$$u_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)^T$$
提示：注意与特征值1的特征向量正交。
步骤 5/8
目标：求特征值3的特征向量
解 $(3I - A)v = 0$：
$$\begin{pmatrix} \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{5}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\ -\frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$
化简得 $x_1 = -x_2, x_3 = \frac{\sqrt{6}}{2} x_1$，取 $v_3 = (\sqrt{6}, -\sqrt{6}, 4)^T$，单位化：
$$u_3 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7}}, -\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7}}, \frac{2}{\sqrt{7}}\right)^T$$
提示：注意特征向量可自由缩放，取整数形式简化计算。
步骤 6/8
目标：构造正交矩阵P
将三个单位正交特征向量按列排成矩阵 $P$：
$$P = (u_1, u_2, u_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7}} \\ 0 & 0 & \frac{2}{\sqrt{7}} \end{pmatrix}$$
则 $P^T A P = \operatorname{diag}(1,2,3)$。
公式：正交对角化 $P^T A P = \Lambda$
提示：验证 $P$ 为正交矩阵：$P^T P = I$。
步骤 7/8
目标：求二次型在单位球面上的最大值
二次型 $f(x) = x^T A x$ 在单位球面 $\|x\|=1$ 上的最大值等于 $A$ 的最大特征值 $\lambda_{\max}=3$，且最大值在对应于该特征值的单位特征向量处取得。
公式：Rayleigh商：$\max_{\|x\|=1} x^T A x = \lambda_{\max}(A)$
提示：注意最大值点包括正负两个方向。
步骤 8/8
目标：写出取到最大值的所有点
特征值3的单位特征向量为 $u_3 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7}}, -\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7}}, \frac{2}{\sqrt{7}}\right)^T$，因此最大值点为 $\pm u_3$，即：
$$\left(\pm \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7}}, \mp \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7}}, \pm \frac{2}{\sqrt{7}}\right)$$
提示：注意符号对应关系：正负号同时取。
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