华东师范大学 2023年高等代数第1题
📝 题目
1．考虑由所有二阶复系数方阵构成的集合
$$
M_{2}(\mathbb{C})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{C}\right\} .
$$
已知 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为基的复线性空间，这里 $\displaystyle E_{i j}$ 是指除第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1
外其余元素均为 0 的二阶方阵。设
$$
B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22}
$$
（1）证明：如下映射为线性映射．
$$
\begin{aligned}
\varphi_{B}: M_{2}(\mathbb{C}) & \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) \\
X & \mapsto \varphi_{B}(X)=B X
\end{aligned}
$$
（2）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 在上述基下的表示矩阵；
（3）分别求核空间 $\displaystyle \operatorname{Ker} \varphi_{B}$ 和像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi_{B}$ 的维数与基；
（4）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 的若尔当典范形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明线性性
对任意 $X, Y \in M_2(\mathbb{C})$ 和 $\lambda \in \mathbb{C}$，有
\[
\varphi_B(X+Y) = B(X+Y) = BX + BY = \varphi_B(X) + \varphi_B(Y),
\]
\[
\varphi_B(\lambda X) = B(\lambda X) = \lambda BX = \lambda \varphi_B(X).
\]
故 $\varphi_B$ 是线性映射。
公式：线性映射定义：$\varphi(\alpha X+\beta Y)=\alpha\varphi(X)+\beta\varphi(Y)$
提示：注意矩阵乘法对加法和数乘的分配律。
步骤 2/5
目标：求表示矩阵
基为 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$。计算 $\varphi_B$ 在基上的作用：
\[
\varphi_B(E_{11}) = B E_{11} = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix} = E_{11} + E_{21},
\]
\[
\varphi_B(E_{12}) = B E_{12} = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix} = E_{12} + E_{22},
\]
\[
\varphi_B(E_{21}) = B E_{21} = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix} = E_{11} + E_{21},
\]
\[
\varphi_B(E_{22}) = B E_{22} = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix} = E_{12} + E_{22}.
\]
因此表示矩阵 $A$ 满足：
\[
(\varphi_B(E_{11}), \varphi_B(E_{12}), \varphi_B(E_{21}), \varphi_B(E_{22})) = (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}) A,
\]
得
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
公式：表示矩阵：$\varphi(\alpha_j)=\sum_i a_{ij}\alpha_i$
提示：注意基的排列顺序，结果矩阵的列对应基向量的像的坐标。
步骤 3/5
目标：求核空间维数与基
矩阵 $A$ 的秩：$A$ 的第一行与第三行相同，第二行与第四行相同，且第一、二行线性无关，故 $\operatorname{rank}(A)=2$。所以 $\dim \operatorname{Ker}\varphi_B = 4-2=2$。
解 $AX=0$，其中 $X=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$ 对应 $X = x_1E_{11}+x_2E_{12}+x_3E_{21}+x_4E_{22}$。方程组为
\[
\begin{cases}
x_1 + x_3 = 0, \\
x_2 + x_4 = 0, \\
x_1 + x_3 = 0, \\
x_2 + x_4 = 0.
\end{cases}
\]
得 $x_3 = -x_1$, $x_4 = -x_2$。基础解系：$(1,0,-1,0)^T$, $(0,1,0,-1)^T$，对应矩阵 $E_{11}-E_{21}$, $E_{12}-E_{22}$。故 $\operatorname{Ker}\varphi_B$ 的基为 $\{E_{11}-E_{21}, E_{12}-E_{22}\}$，维数2。
公式：核空间：$\operatorname{Ker}\varphi = \{X \mid \varphi(X)=0\}$
提示：解齐次线性方程组时注意系数矩阵的简化。
步骤 4/5
目标：求像空间维数与基
$\operatorname{Im}\varphi_B$ 由 $\varphi_B(E_{11}), \varphi_B(E_{12}), \varphi_B(E_{21}), \varphi_B(E_{22})$ 张成，但 $\varphi_B(E_{21})=\varphi_B(E_{11})$, $\varphi_B(E_{22})=\varphi_B(E_{12})$，故像由 $\varphi_B(E_{11})$ 和 $\varphi_B(E_{12})$ 张成，即 $E_{11}+E_{21}$ 和 $E_{12}+E_{22}$。它们线性无关，故 $\operatorname{Im}\varphi_B$ 的基为 $\{E_{11}+E_{21}, E_{12}+E_{22}\}$，维数2。
公式：像空间：$\operatorname{Im}\varphi = \{\varphi(X) \mid X \in V\}$
提示：注意像的基可以从表示矩阵的列向量中选取。
步骤 5/5
目标：求若尔当典范形
由于 $B^2=2B$，故 $\varphi_B^2=2\varphi_B$，从而 $A^2=2A$，特征多项式为 $\lambda^2(\lambda-2)^2$。特征值0和2的代数重数均为2。
求几何重数：$\operatorname{rank}(A-2I)$？计算 $A-2I$：
\[
A-2I = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1
\end{pmatrix},
\]
秩为2，故 $\dim \operatorname{Ker}(A-2I)=2$，所以 $\lambda=2$ 的几何重数为2。类似地，$\lambda=0$ 的几何重数为2。因此 $A$ 可对角化，若尔当典范形为对角矩阵 $\operatorname{diag}(0,0,2,2)$。
公式：若尔当块：$J(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1&\\&\ddots&\ddots\\&&\lambda\end{pmatrix}$
提示：当几何重数等于代数重数时，矩阵可对角化。
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