华东师范大学 2023年高等代数第10题
📝 题目
10．使得二次型 $\displaystyle q(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+y z+x z+t x y(t \in \mathbb{R})$ 正定的 $t$ 之取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+yz+xz+txy$ 的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{t}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{t}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$。注意交叉项系数要除以2。
公式：二次型矩阵元素 $a_{ij}=a_{ji}$，且 $q=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j$
提示：交叉项 $txy$ 的系数 $t$ 应平分到 $a_{12}$ 和 $a_{21}$，即 $\frac{t}{2}$。
步骤 2/7
目标：应用正定二次型的充要条件
实二次型正定的充要条件是它的矩阵的各阶顺序主子式都大于0。即 $\Delta_1>0$, $\Delta_2>0$, $\Delta_3>0$。
公式：顺序主子式 $\Delta_k = \det(A_{k\times k})$
提示：顺序主子式是从左上角开始取 $k$ 行 $k$ 列的子式。
步骤 3/7
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = 1 > 0$，恒成立。
提示：一阶主子式就是矩阵的第一个对角元。
步骤 4/7
目标：计算二阶顺序主子式并求解不等式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & \frac{t}{2} \\ \frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 - \frac{t^2}{4} > 0$，解得 $-2 < t < 2$。
公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：注意 $\frac{t}{2}$ 的平方是 $\frac{t^2}{4}$，不要漏掉分母。
步骤 5/7
目标：计算三阶顺序主子式
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} 1 & \frac{t}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{t}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$\Delta_3 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} - \frac{t}{2} \cdot \begin{vmatrix} \frac{t}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \frac{t}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix}$。
计算各子式：
$\begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$；
$\begin{vmatrix} \frac{t}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = \frac{t}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{t}{2} - \frac{1}{4}$；
$\begin{vmatrix} \frac{t}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{t}{4} - \frac{1}{2}$。
代入得：
$\Delta_3 = \frac{3}{4} - \frac{t}{2} \left( \frac{t}{2} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{t}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} - \frac{t(2t-1)}{8} + \frac{t-2}{8} = \frac{6 - 2t^2 + t + t - 2}{8} = \frac{4 - 2t^2 + 2t}{8} = \frac{2 - t^2 + t}{4}$。
公式：行列式按行展开公式
提示：计算时注意符号：展开时第二项系数为负，第三项系数为正。
步骤 6/7
目标：求解三阶主子式的不等式
令 $\Delta_3 > 0$，即 $\frac{2 - t^2 + t}{4} > 0$，等价于 $2 - t^2 + t > 0$，即 $-t^2 + t + 2 > 0$，两边乘以 -1 得 $t^2 - t - 2 < 0$。因式分解 $(t-2)(t+1) < 0$，解得 $-1 < t < 2$。
公式：二次不等式解法
提示：注意不等式方向：乘以负数要变号。
步骤 7/7
目标：取交集得到最终范围
综合 $\Delta_2 > 0$ 的条件 $-2 < t < 2$ 和 $\Delta_3 > 0$ 的条件 $-1 < t < 2$，取交集得 $-1 < t < 2$。因此 $t$ 的取值范围是 $(-1, 2)$。
提示：注意两个不等式解集的交集。
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