华东师范大学 2023年高等代数第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 同上一题，$W$ 是由它们生成的子空间，则向量 $\displaystyle \gamma=(0,1,0,1)$ 在 $W$ 中的正交投影为
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
由上一题已知 $\alpha=(1,1,0,0)$, $\beta=(0,0,1,1)$，则 $W=\operatorname{span}\{\alpha,\beta\}$。向量 $\gamma=(0,1,0,1)$。
提示：注意确认题目中给出的向量是否正确，避免抄错数字。
步骤 2/6
目标：判断基向量是否正交
计算 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积：$\alpha\cdot\beta = 1\cdot0+1\cdot0+0\cdot1+0\cdot1=0$，所以 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交。因此它们构成 $W$ 的一组正交基。
公式：$\alpha\cdot\beta = \sum_{i=1}^4 \alpha_i\beta_i$
提示：正交性简化了投影公式，否则需要先进行Gram-Schmidt正交化。
步骤 3/6
目标：写出正交投影公式
对于正交基，向量 $\gamma$ 在子空间 $W$ 上的正交投影为：
$$
\operatorname{proj}_W\gamma = \frac{\gamma\cdot\alpha}{\alpha\cdot\alpha}\alpha + \frac{\gamma\cdot\beta}{\beta\cdot\beta}\beta.
$$
公式：$\operatorname{proj}_W\gamma = \sum_{i=1}^k \frac{\gamma\cdot v_i}{v_i\cdot v_i} v_i$，其中 $\{v_i\}$ 是 $W$ 的正交基。
提示：注意分母是基向量的模平方，不是模。
步骤 4/6
目标：计算内积
计算所需内积：
$\gamma\cdot\alpha = (0,1,0,1)\cdot(1,1,0,0)=0\cdot1+1\cdot1+0\cdot0+1\cdot0=1$，
$\alpha\cdot\alpha = 1^2+1^2+0^2+0^2=2$，
$\gamma\cdot\beta = (0,1,0,1)\cdot(0,0,1,1)=0\cdot0+1\cdot0+0\cdot1+1\cdot1=1$，
$\beta\cdot\beta = 0^2+0^2+1^2+1^2=2$。
提示：内积计算要仔细，注意对应分量相乘再求和。
步骤 5/6
目标：代入公式计算投影
将内积结果代入投影公式：
$$
\operatorname{proj}_W\gamma = \frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}\beta = \frac{1}{2}(1,1,0,0) + \frac{1}{2}(0,0,1,1) = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right) + \left(0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).
$$
提示：注意向量加法是对应分量相加。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$\gamma$ 在 $W$ 中的正交投影为 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。
提示：答案应写成分数形式，不要写成小数。
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