华东师范大学 2023年高等代数第3题
📝 题目
3．考虑欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,3,1,-1), \alpha_{2}=(2,3,2,1), \beta_{1}=(3,-1,-3,-5), \beta_{2}= (2,-1,0,1)$ ，设 $\displaystyle W_{1}$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空问，$\displaystyle W_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间，则 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并建立方程
设 $W_1 = \operatorname{span}\{\alpha_1, \alpha_2\}$, $W_2 = \operatorname{span}\{\beta_1, \beta_2\}$。求 $W_1 \cap W_2$ 的维数，即求满足 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = y_1\beta_1 + y_2\beta_2$ 的非零解 $(x_1, x_2, y_1, y_2)$ 中自由参数的个数。
提示：注意交集中的向量可以表示为两个子空间中向量的线性组合，因此需要求解齐次线性方程组。
步骤 2/6
目标：将方程转化为齐次线性方程组
将等式移项得 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 - y_1\beta_1 - y_2\beta_2 = 0$。将向量写成列向量，得到矩阵方程：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & -2 \\
3 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
-1 & 1 & 5 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ y_1 \\ y_2
\end{pmatrix} = \mathbf{0}
$$
其中 $eta_1, \beta_2$ 取负号是因为移项。
提示：注意符号：移项后 $eta_1, \beta_2$ 的系数为负。
步骤 3/6
目标：对系数矩阵进行行化简（第一步）
对矩阵进行初等行变换：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & -2 \\
3 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
-1 & 1 & 5 & -1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2-3R_1, R_3-R_1, R_4+R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & -2 \\
0 & -3 & 10 & 7 \\
0 & 0 & 6 & 2 \\
0 & 3 & 2 & -3
\end{pmatrix}
$$
提示：注意行变换的正确性，特别是 $R_4+R_1$ 后第三列变为 $5+(-3)=2$。
步骤 4/6
目标：继续行化简（第二步）
继续变换：
$$
\xrightarrow{R_4+R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & -2 \\
0 & -3 & 10 & 7 \\
0 & 0 & 6 & 2 \\
0 & 0 & 12 & 4
\end{pmatrix}
$$
注意 $R_4+R_2$ 后第四行第二列变为 $3+(-3)=0$，第三列变为 $2+10=12$，第四列变为 $-3+7=4$。
提示：检查计算：$R_4$ 原为 $(0,3,2,-3)$，$R_2$ 为 $(0,-3,10,7)$，相加得 $(0,0,12,4)$。
步骤 5/6
目标：完成行化简
最后一步：
$$
\xrightarrow{R_4-2R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & -2 \\
0 & -3 & 10 & 7 \\
0 & 0 & 6 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
矩阵的秩为3。
提示：注意 $R_4-2R_3$ 后第四行变为 $(0,0,0,0)$，说明行向量线性相关。
步骤 6/6
目标：确定解空间维数
系数矩阵的秩为3，未知数个数为4，所以解空间维数为 $4-3=1$。因此 $W_1 \cap W_2$ 的维数为1。
公式：解空间维数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩
提示：解空间维数即自由参数的个数，这里为1，说明交空间是一维的。
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