华东师范大学 2023年高等代数第4题
📝 题目
4．行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}6 & 1 & 8 \\ 7 & 5 & 3 \\ 2 & 9 & 4\end{array}\right|$ 的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别行列式类型
该行列式为3阶方阵的行列式，可以直接使用Sarrus法则或展开法计算。
提示：注意行列式与矩阵的区别，行列式是一个数值。
步骤 2/7
目标：应用Sarrus法则（对角线法）
将行列式的前两列复制到右侧：
$\begin{vmatrix} 6 & 1 & 8 & 6 & 1 \\ 7 & 5 & 3 & 7 & 5 \\ 2 & 9 & 4 & 2 & 9 \end{vmatrix}$
公式：Sarrus法则：$\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$
提示：确保正确复制前两列，避免遗漏。
步骤 3/7
目标：计算主对角线乘积和
主对角线（从左上到右下）三条线：
1. $6 \times 5 \times 4 = 120$
2. $1 \times 3 \times 2 = 6$
3. $8 \times 7 \times 9 = 504$
和：$120 + 6 + 504 = 630$
提示：注意每条对角线有三个元素，不要混淆方向。
步骤 4/7
目标：计算副对角线乘积和
副对角线（从右上到左下）三条线：
1. $8 \times 5 \times 2 = 80$
2. $6 \times 3 \times 9 = 162$
3. $1 \times 7 \times 4 = 28$
和：$80 + 162 + 28 = 270$
提示：副对角线方向容易出错，注意是从右上到左下。
步骤 5/7
目标：计算行列式值
行列式值 = 主对角线乘积和 - 副对角线乘积和 = $630 - 270 = 360$
提示：减法运算时注意符号，不要漏掉负号。
步骤 6/7
目标：验证结果（按第一行展开）
按第一行展开：
$\det = 6 \times \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 9 & 4 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} + 8 \times \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 2 & 9 \end{vmatrix}$
计算各2阶行列式：
$\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 9 & 4 \end{vmatrix} = 5\times4 - 3\times9 = 20-27 = -7$
$\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 7\times4 - 3\times2 = 28-6 = 22$
$\begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 2 & 9 \end{vmatrix} = 7\times9 - 5\times2 = 63-10 = 53$
代入：$6\times(-7) - 1\times22 + 8\times53 = -42 -22 + 424 = 360$
公式：行列式按行展开公式：$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$
提示：注意展开时符号：$(-1)^{1+j}$，第一行第二列符号为负。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
行列式的值为 $360$。
提示：最终答案应填入空格或括号中。
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