华东师范大学 2023年高等代数第5题
📝 题目
5．齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，这里
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 3 & 1 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 0 & -1 & 1 \\
-1 & 3 & 2 & 4
\end{array}\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解解空间维数公式
齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间维数等于 $n - \operatorname{rank}(A)$，其中 $n=4$ 是未知数个数。因此，我们需要计算矩阵 $A$ 的秩。
公式：解空间维数 = n - rank(A)
提示：注意：n 是未知数的个数，即矩阵 A 的列数。
步骤 2/7
目标：写出矩阵 A 并进行初等行变换
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$。首先，将第3行减去2倍的第1行：$R_3 - 2R_1$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -6 & -3 & -9 \\ -1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$。
提示：初等行变换时，注意符号和倍数，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：继续行变换消去第4行第1列
将第4行加上第1行：$R_4 + R_1$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -6 & -3 & -9 \\ 0 & 6 & 3 & 9 \end{pmatrix}$。
提示：注意：$R_4 + R_1$ 是逐元素相加。
步骤 4/7
目标：消去第3行第2列
将第3行加上3倍的第2行：$R_3 + 3R_2$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 9 \end{pmatrix}$。
提示：注意：$R_3 + 3R_2$ 时，第3行第2列变为 $-6 + 3*2 = 0$。
步骤 5/7
目标：消去第4行第2列
将第4行减去3倍的第2行：$R_4 - 3R_2$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意：$R_4 - 3R_2$ 时，第4行第2列变为 $6 - 3*2 = 0$。
步骤 6/7
目标：化为行最简形
将第1行减去 $\frac{3}{2}$ 倍的第2行：$R_1 - \frac{3}{2}R_2$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。再将第2行乘以 $\frac{1}{2}$：$R_2 \times \frac{1}{2}$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：化为行最简形时，注意分数运算，避免出错。
步骤 7/7
目标：确定矩阵的秩并计算解空间维数
行最简形中有2个非零行，所以 $\operatorname{rank}(A)=2$。解空间维数 $= n - \operatorname{rank}(A) = 4 - 2 = 2$。
提示：秩等于非零行的个数，注意不要数错。
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