华东师范大学 2023年高等代数第6题
📝 题目
6．实系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3 x+2$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{3}+3 x^{2}-4$ 的最大公因式为 $\displaystyle \_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：列出已知多项式
已知 $f(x)=x^3-3x+2$，$g(x)=x^3+3x^2-4$，均为实系数多项式。
提示：注意多项式书写规范，确保系数正确。
步骤 2/5
目标：第一次辗转相除：$f(x)$ 除以 $g(x)$
计算 $f(x)-g(x) = (x^3-3x+2)-(x^3+3x^2-4) = -3x^2-3x+6 = -3(x^2+x-2)$。因此余式 $r_1(x)=x^2+x-2$（忽略非零常数因子）。
公式：多项式减法：$f(x)-g(x)$
提示：辗转相除法中，余式可以乘以非零常数，不影响最大公因式。
步骤 3/5
目标：第二次辗转相除：$g(x)$ 除以 $r_1(x)$
用 $r_1(x)=x^2+x-2$ 除 $g(x)=x^3+3x^2-4$。做多项式除法：商为 $x+2$，余式为 $0$，因为 $(x+2)(x^2+x-2)=x^3+3x^2-4$。
公式：多项式除法：$g(x) = (x+2) r_1(x)$
提示：注意多项式乘法展开的正确性，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：确定最大公因式
由于余式为0，故 $r_1(x)=x^2+x-2$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最大公因式。通常取首项系数为1，即 $x^2+x-2$。
提示：最大公因式通常化为首项系数为1的多项式。
步骤 5/5
目标：验证结果（因式分解）
分解 $f(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$，$g(x)=x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2$，公因式为 $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$，与辗转相除法结果一致。
公式：因式分解：$f(x)=(x-1)^2(x+2)$，$g(x)=(x-1)(x+2)^2$
提示：因式分解可验证结果，但注意分解的正确性。
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