华东师范大学 2023年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 及 $\displaystyle g(x)=x^{3}+x+1$ ，满足同余方程 $\displaystyle u(x) f(x) \equiv 1(\bmod g(x))$ 且次数最小的多项式 $\displaystyle u(x)$ 为 $\displaystyle \_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并判断逆元存在性
我们需要求解同余方程 $u(x) f(x) \equiv 1 \pmod{g(x)}$，其中 $f(x)=x^2$，$g(x)=x^3+x+1$。这等价于求 $f(x)$ 在模 $g(x)$ 下的乘法逆元。由于 $\gcd(f(x), g(x)) = 1$（因为 $g(x)$ 不可约且 $f(x)$ 不是其倍式），逆元存在。
提示：注意检查 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是否互素，若不互素则逆元不存在。
步骤 2/6
目标：应用扩展欧几里得算法：第一步除法
对 $g(x)$ 和 $f(x)$ 做多项式除法：$g(x) = x^3 + x + 1$ 除以 $f(x) = x^2$。商为 $x$，余式为 $x+1$，即
$$g(x) = x \cdot f(x) + (x+1).$$
记 $r_1(x) = x+1$。
公式：多项式除法：$g(x) = q_1(x) f(x) + r_1(x)$
提示：多项式除法时注意系数运算在有理数域上进行。
步骤 3/6
目标：第二步除法
用 $f(x)$ 除以第一步的余式 $r_1(x) = x+1$：$f(x) = x^2$ 除以 $x+1$。商为 $x-1$，余式为 $1$，即
$$f(x) = (x-1) \cdot r_1(x) + 1.$$
记 $r_2(x) = 1$。
公式：多项式除法：$f(x) = q_2(x) r_1(x) + r_2(x)$
提示：注意商 $x-1$ 的符号，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：第三步除法（余数为0）
用 $r_1(x)$ 除以 $r_2(x)=1$：$r_1(x) = (x+1) \cdot 1 + 0$，余数为0，算法结束。
提示：当余数为0时，前一步的余数即为最大公因式。
步骤 5/6
目标：回代求解 $u(x)$
从第二步开始回代：由 $1 = f(x) - (x-1) r_1(x)$。将第一步的 $r_1(x) = g(x) - x f(x)$ 代入，得
$$1 = f(x) - (x-1)[g(x) - x f(x)] = f(x) - (x-1)g(x) + (x-1)x f(x) = [1 + x(x-1)] f(x) - (x-1) g(x) = (x^2 - x + 1) f(x) - (x-1) g(x).$$
因此 $u(x) = x^2 - x + 1$。
公式：扩展欧几里得算法回代公式
提示：回代时注意整理同类项，确保 $u(x)$ 的系数正确。
步骤 6/6
目标：验证次数最小性
得到的 $u(x) = x^2 - x + 1$ 次数为2。若存在次数更低的解（0次或1次），则 $u(x)f(x)$ 次数小于3，不可能模 $g(x)$ 余1（因为余数1次数为0，而 $g(x)$ 次数为3，$u(x)f(x)$ 次数小于3时只能等于1，但 $x^2$ 乘以一次多项式或常数不可能等于1）。因此 $u(x)$ 次数最小。
提示：注意次数论证：若 $\deg(u) \leq 1$，则 $\deg(uf) \leq 3$，但 $uf \equiv 1 \pmod{g}$ 意味着 $uf = 1 + kg$，若 $\deg(uf) < 3$，则 $k=0$，$uf=1$，不可能。
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