华东师范大学 2023年高等代数第8题
📝 题目
8．已知方阵 $A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda+1,(\lambda+1)^{2},(\lambda-1)^{2}$ ，则 $A$ 的极小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解初等因子组与极小多项式的关系
极小多项式是方阵$A$的最小多项式，它等于所有不同的一次因式的最高次幂的乘积。初等因子组给出了$A$的Jordan标准型中各个Jordan块的初等因子，每个初等因子对应一个Jordan块。极小多项式由所有不同的一次因式的最高次幂相乘得到。
提示：注意极小多项式是不同因子的最高次幂的乘积，不是所有初等因子的乘积。
步骤 2/5
目标：列出所有不同的因式
初等因子组为：$\lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda+1, (\lambda+1)^{2}, (\lambda-1)^{2}$。观察这些因式，找出所有不同的一次因式：$\lambda$（即$\lambda-0$），$\lambda+1$，$\lambda-1$。
提示：注意$\lambda$和$\lambda^2$是同一个因式$\lambda$的不同幂次，因式本身相同。
步骤 3/5
目标：找出每个因式的最高次幂
对于因式$\lambda$，初等因子中有$\lambda$和$\lambda^{2}$，最高次幂是$\lambda^{2}$。对于因式$\lambda+1$，初等因子中有$\lambda+1$和$(\lambda+1)^{2}$，最高次幂是$(\lambda+1)^{2}$。对于因式$\lambda-1$，初等因子中只有$(\lambda-1)^{2}$，最高次幂是$(\lambda-1)^{2}$。
提示：确保每个因式都考虑了所有出现的幂次，取最大指数。
步骤 4/5
目标：写出极小多项式
将每个不同因式的最高次幂相乘，得到极小多项式：$m(\lambda) = \lambda^{2} (\lambda+1)^{2} (\lambda-1)^{2}$。
公式：m(\lambda) = \prod_{i} (\lambda - \lambda_i)^{m_i}，其中$m_i$是特征值$\lambda_i$对应的最大Jordan块大小。
提示：注意不要遗漏任何因式，且指数是最高次幂。
步骤 5/5
目标：验证极小多项式的次数
极小多项式的次数为$2+2+2=6$。初等因子组中最高次幂之和也是6，但注意极小多项式次数等于所有不同特征值的最大Jordan块大小之和，这里恰好等于初等因子总个数？不，初等因子总个数是6个，但次数是6，巧合。实际上，极小多项式次数等于所有不同特征值的最大指数之和。
提示：极小多项式的次数不一定等于矩阵的阶数，这里矩阵阶数是初等因子次数之和：1+1+2+1+2+2=9，所以矩阵是9阶，但极小多项式是6次。
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