华东师范大学 2023年高等代数第9题
📝 题目
9．实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$ 可以通过正交相似变换化为对角阵 $\displaystyle \_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：求特征值
解特征方程 $|\lambda I - A| = 0$。计算行列式：
$$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 2 & 0 \\ 2 & \lambda-1 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda-2)[(\lambda-1)\lambda - 4] - 2(2\lambda) = (\lambda-2)(\lambda^2 - \lambda - 4) - 4\lambda = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda-4)(\lambda-1)(\lambda+2) = 0$$ 得特征值 $\lambda_1 = 4, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = -2$。
公式：$|\lambda I - A| = 0$
提示：计算行列式时注意符号和展开，避免代数错误。
步骤 2/8
目标：求特征向量（λ=4）
解 $(4I - A)\mathbf{x} = 0$：
$$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$ 得 $x_1 = -x_2, x_2 = -2x_3$，取 $x_3 = 1$，得 $\mathbf{v}_1 = (2, -2, 1)^T$。
公式：$(\lambda I - A)\mathbf{x} = 0$
提示：解齐次线性方程组时，注意自由变量的选取，避免解错。
步骤 3/8
目标：单位化特征向量（λ=4）
计算 $\mathbf{v}_1$ 的模：$\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$，单位化得 $\mathbf{u}_1 = \frac{1}{3}(2, -2, 1)^T$。
公式：$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$
提示：单位化时注意模的计算，避免开方错误。
步骤 4/8
目标：求特征向量（λ=1）
解 $(I - A)\mathbf{x} = 0$：
$$\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$ 得 $x_1 = 2x_2, x_3 = -2x_2$，取 $x_2 = 1$，得 $\mathbf{v}_2 = (2, 1, -2)^T$。
公式：$(\lambda I - A)\mathbf{x} = 0$
提示：注意系数矩阵的符号，避免代入错误。
步骤 5/8
目标：单位化特征向量（λ=1）
计算模：$\|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$，单位化得 $\mathbf{u}_2 = \frac{1}{3}(2, 1, -2)^T$。
公式：$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$
提示：单位化后检查是否为单位向量。
步骤 6/8
目标：求特征向量（λ=-2）
解 $(-2I - A)\mathbf{x} = 0$：
$$\begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$ 得 $x_1 = \frac{1}{2}x_2, x_3 = x_2$，取 $x_2 = 2$，得 $\mathbf{v}_3 = (1, 2, 2)^T$。
公式：$(\lambda I - A)\mathbf{x} = 0$
提示：注意λ=-2时，矩阵为-2I-A，不要混淆。
步骤 7/8
目标：单位化特征向量（λ=-2）
计算模：$\|\mathbf{v}_3\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$，单位化得 $\mathbf{u}_3 = \frac{1}{3}(1, 2, 2)^T$。
公式：$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$
提示：所有特征向量模均为3，注意验证。
步骤 8/8
目标：构造正交矩阵和对角矩阵
由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量自然正交，故 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3$ 构成标准正交基。令正交矩阵 $Q = (\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3)$，则 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(4, 1, -2)$。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：注意特征值的顺序与特征向量列的顺序一致。
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