华东理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & a & b \\
0 & \omega & c \\
0 & 0 & \omega^{2}
\end{array}\right)
$$
其中 $\displaystyle a, b, c$ 为任意数，$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ，求 $\displaystyle A^{100}$ 及 $\displaystyle A^{-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别矩阵结构
矩阵 $A$ 是上三角矩阵，可分解为对角部分 $D$ 和严格上三角部分 $N$：$A = D + N$，其中 $D = \operatorname{diag}(1, \omega, \omega^2)$，$N = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。注意 $\omega = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ 是三次单位根，满足 $\omega^3=1$ 且 $1+\omega+\omega^2=0$。
提示：注意 $\omega$ 的性质：$\omega^3=1$，$\omega^2=\bar{\omega}$，$1+\omega+\omega^2=0$。
步骤 2/7
目标：计算N的幂
计算 $N$ 的幂：$N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ac \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$N^3 = 0$。因为 $N$ 是 $3\times 3$ 严格上三角矩阵，其三次幂为零矩阵。
提示：严格上三角矩阵的幂次：$N^k$ 中非零元素仅出现在第 $k$ 条上对角线，$k\ge 3$ 时全零。
步骤 3/7
目标：利用二项式定理求A^{100}
由于 $D$ 与 $N$ 可交换（$D$ 是对角矩阵），利用二项式定理：$A^{100} = (D+N)^{100} = \sum_{i=0}^{100} \binom{100}{i} D^{100-i} N^i$。因为 $i\ge 3$ 时 $N^i=0$，只需计算 $i=0,1,2$ 项。
公式：$(D+N)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} D^{n-i} N^i$，当 $D$ 与 $N$ 可交换时成立。
提示：注意二项式定理要求 $D$ 与 $N$ 可交换，这里 $D$ 是对角矩阵，与任何矩阵左乘右乘相同，故可交换。
步骤 4/7
目标：计算D的幂
计算 $D^{100}$、$D^{99}$、$D^{98}$。由于 $\omega^3=1$，指数模3简化：$100 \equiv 1 \pmod{3}$，$99 \equiv 0 \pmod{3}$，$98 \equiv 2 \pmod{3}$。因此 $D^{100} = \operatorname{diag}(1, \omega, \omega^2) = D$，$D^{99} = \operatorname{diag}(1, 1, 1) = I$，$D^{98} = \operatorname{diag}(1, \omega^2, \omega)$。
公式：$\omega^k = \omega^{k \bmod 3}$，因为 $\omega^3=1$。
提示：注意 $\omega^0=1$，$\omega^1=\omega$，$\omega^2=\omega^2$。
步骤 5/7
目标：计算A^{100}的各项
计算三项：
- $i=0$：$\binom{100}{0} D^{100} N^0 = D$。
- $i=1$：$\binom{100}{1} D^{99} N = 100 \cdot I \cdot N = 100N$。
- $i=2$：$\binom{100}{2} D^{98} N^2 = 4950 \cdot \operatorname{diag}(1, \omega^2, \omega) \cdot N^2$。左乘对角矩阵得 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4950ac \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
相加得 $A^{100} = \begin{pmatrix} 1 & 100a & 100b + 4950ac \\ 0 & \omega & 100c \\ 0 & 0 & \omega^2 \end{pmatrix}$。
提示：注意 $\binom{100}{2}=4950$，且 $D^{98}N^2$ 的乘积中只有 (1,3) 元素非零，因为 $N^2$ 只有 (1,3) 元素非零。
步骤 6/7
目标：求A^{-1}的待定形式
由于 $A$ 是上三角矩阵且对角元非零，其逆也是上三角矩阵。设 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & \omega^{-1} & z \\ 0 & 0 & \omega^{-2} \end{pmatrix}$，其中 $\omega^{-1} = \omega^2$，$\omega^{-2} = \omega$。
提示：上三角矩阵的逆仍为上三角，且对角元为原对角元的倒数。
步骤 7/7
目标：解方程求逆矩阵元素
由 $AA^{-1}=I$ 得方程组：
- (1,2)：$x + a\omega^2 = 0 \Rightarrow x = -a\omega^2$。
- (2,3)：$\omega z + c\omega = 0 \Rightarrow z = -c$。
- (1,3)：$y + a z + b\omega = 0 \Rightarrow y = ac - b\omega$。
因此 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -a\omega^2 & ac - b\omega \\ 0 & \omega^2 & -c \\ 0 & 0 & \omega \end{pmatrix}$。
提示：注意 $\omega^3=1$，所以 $\omega^{-1}=\omega^2$，$\omega^{-2}=\omega$。计算时小心符号。
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