华东理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为不同的 $n$ 维实列向量，若 $\displaystyle \|\alpha\|=\|\beta\|$ ，证明：存在 $n$ 阶方阵 $\displaystyle H=I_{n}-2 u u^{\prime}$ ，使得 $\displaystyle H \alpha=\beta$ ，其中 $u$ 为某个单位向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确已知条件和目标
已知 $\alpha, \beta$ 是 $n$ 维实列向量，$\alpha \neq \beta$，且 $\|\alpha\| = \|\beta\|$。需要构造一个 Householder 矩阵 $H = I_n - 2uu'$，其中 $u$ 是单位向量，使得 $H\alpha = \beta$。
提示：注意 $\alpha \neq \beta$ 是前提，否则 $v=0$ 无法构造单位向量。
步骤 2/8
目标：构造向量 v 和单位向量 u
令 $v = \alpha - \beta$，由于 $\alpha \neq \beta$，$v \neq 0$。取 $u = \frac{v}{\|v\|}$，则 $u$ 是单位向量。
公式：$u = \frac{\alpha - \beta}{\|\alpha - \beta\|}$
提示：确保 $v$ 非零，否则无法定义单位向量。
步骤 3/8
目标：写出 Householder 矩阵并作用在 α 上
Householder 矩阵为 $H = I_n - 2uu'$，则 $H\alpha = \alpha - 2(u'\alpha)u$。
公式：$H\alpha = \alpha - 2(u'\alpha)u$
提示：注意 $u'\alpha$ 是标量，$u$ 是列向量。
步骤 4/8
目标：将目标等式转化为关于 v 的条件
需要 $H\alpha = \beta$，即 $\alpha - 2(u'\alpha)u = \beta$，移项得 $2(u'\alpha)u = \alpha - \beta = v$。
公式：$2(u'\alpha)u = v$
提示：注意 $u$ 与 $v$ 方向相同，因此 $2(u'\alpha)u$ 与 $v$ 共线。
步骤 5/8
目标：代入 u 的表达式并化简
由于 $u = v/\|v\|$，则 $2(u'\alpha)u = 2\left(\frac{v'}{\|v\|}\alpha\right)\frac{v}{\|v\|} = \frac{2(v'\alpha)}{\|v\|^2}v$。因此等式 $2(u'\alpha)u = v$ 等价于 $\frac{2(v'\alpha)}{\|v\|^2}v = v$，即 $\frac{2(v'\alpha)}{\|v\|^2} = 1$，或 $2v'\alpha = \|v\|^2$。
公式：$2v'\alpha = \|v\|^2$
提示：注意 $v$ 非零，可约去。
步骤 6/8
目标：计算 $\|v\|^2$ 和 $2v'\alpha$
计算 $\|v\|^2 = (\alpha-\beta)'(\alpha-\beta) = \|\alpha\|^2 + \|\beta\|^2 - 2\alpha'\beta$。由于 $\|\alpha\| = \|\beta\|$，所以 $\|v\|^2 = 2\|\alpha\|^2 - 2\alpha'\beta$。
计算 $2v'\alpha = 2(\alpha-\beta)'\alpha = 2(\|\alpha\|^2 - \beta'\alpha) = 2\|\alpha\|^2 - 2\beta'\alpha$。由于 $\beta'\alpha = \alpha'\beta$，所以 $2v'\alpha = 2\|\alpha\|^2 - 2\alpha'\beta$。
公式：$\|v\|^2 = 2\|\alpha\|^2 - 2\alpha'\beta$，$2v'\alpha = 2\|\alpha\|^2 - 2\alpha'\beta$
提示：注意内积的对称性：$\alpha'\beta = \beta'\alpha$。
步骤 7/8
目标：验证等式成立
比较 $\|v\|^2$ 和 $2v'\alpha$，两者相等：$\|v\|^2 = 2\|\alpha\|^2 - 2\alpha'\beta = 2v'\alpha$。因此 $2v'\alpha = \|v\|^2$ 成立，从而 $H\alpha = \beta$。
提示：关键步骤，利用已知条件 $\|\alpha\| = \|\beta\|$ 推导出等式。
步骤 8/8
目标：总结构造结果
取 $u = \frac{\alpha - \beta}{\|\alpha - \beta\|}$，则 $H = I_n - 2uu'$ 满足 $H\alpha = \beta$。
公式：$H = I_n - 2\frac{(\alpha-\beta)(\alpha-\beta)'}{\|\alpha-\beta\|^2}$
提示：Householder 矩阵是正交对称矩阵，其几何意义是反射。
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