华东理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
九．设 $A$ 为 $n$ 阶正定对称矩阵，$n$ 维实列向量组 $\displaystyle \alpha, \beta$ 满足 $\displaystyle \alpha^{\prime} \beta>0$ ，求证：
$$
H=A-\frac{A \beta \beta^{\prime} A}{\beta^{\prime} A \beta}+\frac{\alpha \alpha^{\prime}}{\alpha^{\prime} \beta}
$$
是正定矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正定矩阵的分解性质
由于 $A$ 是 $n$ 阶正定对称矩阵，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P'P$。令 $u = P\beta$，$v = P^{-1}\alpha$，则 $\beta' A \beta = \beta' P'P \beta = u'u > 0$，$\alpha' \beta = \alpha' (P^{-1}P)\beta = (P^{-1}\alpha)' (P\beta) = v'u$。由条件 $\alpha'\beta > 0$ 知 $v'u > 0$。
公式：A = P'P
提示：注意 $P$ 是可逆矩阵，且 $u$ 和 $v$ 的定义要准确。
步骤 2/6
目标：对 $H$ 进行合同变换
考虑矩阵 $H = A - \frac{A\beta\beta'A}{\beta'A\beta} + \frac{\alpha\alpha'}{\alpha'\beta}$。用 $P$ 进行合同变换：$P'^{-1} H P^{-1} = P'^{-1} A P^{-1} - \frac{P'^{-1} A\beta\beta' A P^{-1}}{\beta'A\beta} + \frac{P'^{-1} \alpha\alpha' P^{-1}}{\alpha'\beta}$。
提示：合同变换保持正定性，注意 $P'^{-1}$ 是 $P^{-1}$ 的转置的逆。
步骤 3/6
目标：简化合同变换后的表达式
由于 $A = P'P$，有 $P'^{-1} A P^{-1} = I_n$。又 $A\beta = P'P\beta = P'u$，故 $P'^{-1} A\beta = u$，$\beta' A P^{-1} = u'$。所以 $P'^{-1} H P^{-1} = I_n - \frac{u u'}{u'u} + \frac{v v'}{v'u}$。令 $M = I_n - \frac{u u'}{u'u} + \frac{v v'}{v'u}$。由于 $P$ 可逆，$H$ 正定当且仅当 $M$ 正定。
公式：P'^{-1} H P^{-1} = I_n - \frac{u u'}{u'u} + \frac{v v'}{v'u}
提示：注意 $u u'$ 是秩1矩阵，$u'u$ 是标量。
步骤 4/6
目标：证明 $M$ 正定：二次型表达式
对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，计算 $x' M x = x' x - \frac{(x'u)^2}{u'u} + \frac{(x'v)^2}{v'u}$。
公式：x' M x = x' x - \frac{(x'u)^2}{u'u} + \frac{(x'v)^2}{v'u}
提示：注意 $x'u$ 和 $x'v$ 是内积，$u'u$ 和 $v'u$ 是标量。
步骤 5/6
目标：应用 Cauchy-Schwarz 不等式
由 Cauchy-Schwarz 不等式，$x'x \cdot u'u \geq (x'u)^2$，故 $x'x - \frac{(x'u)^2}{u'u} \geq 0$，等号成立当且仅当 $x$ 与 $u$ 共线。因此 $x' M x \geq \frac{(x'v)^2}{v'u} \geq 0$。
公式：x'x \cdot u'u \geq (x'u)^2
提示：Cauchy-Schwarz 不等式的等号条件：$x$ 与 $u$ 线性相关。
步骤 6/6
目标：证明严格正定性
若 $x' M x = 0$，则 $x$ 与 $u$ 共线且 $x'v = 0$。设 $x = \lambda u$，则 $0 = x'v = \lambda u'v = \lambda (v'u)$，由 $v'u > 0$ 得 $\lambda = 0$，从而 $x = 0$。故对任意非零 $x$，$x' M x > 0$，即 $M$ 正定。因此 $H$ 正定。
提示：注意 $v'u > 0$ 是关键条件，否则不能推出 $\lambda=0$。
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